内容发布更新时间 : 2024/5/8 2:03:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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电动力学第一章习题及其答案

1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普

适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立.

?????2. 若a为常矢量, r?(x?x')i?(y?y')j?(z?z')k为从源点指向场点的矢量,

??E0,k为常矢量,则

???dr2???2?2r???(ra)=??(ra)?(?r)?a)?dr?r?a?2rr?a?2r?a,

2?????? ?r?i?x?j?y?k?z???x-x'?y-y'?z-z'r?(x?x')?(y?y')?(z?z')?ir?jr?kr?r

2222(x?x')(x?x')???(x?x')2?(y?y')2?(z?z')2???,同理，222r??x?2(x?x')?(y?y')?(z?z')??

(y?y')(z?z')222222???(x?x')?(y?y')?(z?z')??,(x?x')?(y?y')?(z?z')??yr?zr?????exexex??(x-x')?(y-y')?(z-z')?????0， ??r??x?y?z ??r??x??y??z?3，

x?x'y?y'z?z'???? ??(a?r)?a?(??r)?0,

?rr3?1??r?????()?r?r??r?r2?r??rr1r??r?0

??k?a，

??,?(a?r)??rr1r?[ax(x-x')]?x?i??[ay(y-y')]?y?j?[az?(z-z')]?z???1?3r2??????r???r???r??3 ，??(??A)?__0___. rrrr?????????ik??3??[E0sin(k?r)]?k?E0cos(k?r), 当r?0时,??(r/r)?__0__. ??(E0e?r)?

??????(r)ik?E0exp(ik?r), ??[rf(r)]?_0_. ??[rf(r)]?3f(r)?rdfdr

3. 矢量场f的唯一性定理是说：在以

?s为界面的区域V内,若已知矢量场在V内各点的旋度和散

?f在V?度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则

??t内唯一确定.

?4. 电荷守恒定律的微分形式为??J????0,若J为稳恒电流情况下的电流密度,则J满足

???J?0.

5. 场强与电势梯度的关系式为，E????.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为

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???????1?3?P?r?rP????P?r/(4??r)，则该点的场强为E???.

304??0??r5r3??6. 自由电荷Q均匀分布于一个半径为a的球体内,则在球外(r?a)任意一点D的散度为 0,

?内(r?a)任意一点D的散度为 3Q/4?a3.

????arbr7. 已知空间电场为E?2?3(a,b为常数），则空间电荷分布为______.

rr???ar1r1????3?E?2?b??rrrr?????ar1a??r2r??r2???0??E??0(??2?b?)??0[2??4?b?(r)]

rrrr3??3a2r?ra??0[2?4?4?b?(r)]????0[2?4?b?(r)]rrr8. 电流I均匀分布于半径为

?a的无穷长直导线内，则在导线外(r?a)任意一点B的旋度的大

?小为 0 , 导线内(r?a)任意一点B的旋度的大小为?0I/?a2.

?9. 均匀电介质（介电常数为?）中,自由电荷体密度为?f与电位移矢量D的微分关系为

????P, 束缚电荷体密度为与电极化矢量的微分关系为??P???P,则??D??fP?P与?f间的关系为?P?????0??f.

?10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P，若在

介质中挖去半径为R的球形区域，设空心球的球心到球

1?R2??P?P??(P2n?P1n)??(Pcos??0)??P?R??R?面某处的矢径为R，则该处的极化电荷面密度为

???P?R/R.

11. 电量为

q的点电荷处于介电常数为

?的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为

(?0/??1)q.

???12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为Jf,磁化电流密度为JM,磁导率?,磁场强度为H，磁

?????????化强度为M，则??H?Jf,??M?JM,JM与Jf间的关系为JM???/?0?1?Jf.

?????13. 在两种电介质的分界面上,D,E所满足的边值关系的形式为n?D2?D1??f,

??- 1 -

长 沙 理 工 大 学 备 课 纸 ???n??E?E??0.

2114. 介电常数为?的均匀各向同性介质中的电场为E. 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中

电场强度大小为E. 15. 介电常数为

?的无限均匀的各项同性介质中的电场为E，在垂

1直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为

?n2E缝?E??0E缝?D2n?D1n?0????E缝??E/?0,. ?E?E?0E?Esin??01?11?2??2?16. 在半径为R的球内充满介电常数为?的均匀介质，球心

处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介质中的场强之比为_1:1_.

EE?自由电荷?E2nE121?1?2R极化电荷D2n?D1n?0?E1?E1??E2??E2?E1:E2?1:1

17. 在半径为R的球内充满介电常数为?的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，

如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质附近导体壳上的自由电荷密度之比为?0/?.

?D2n?D1n?0内球面上D1D2?1?2??????1:?2??0:? ??0??0??E1?E1??E2??E2??18. 在两种磁介质的分界面上, H,B所满足的边值关系的矢量形式为

????n?H2?H1??f?????,n?B2?B1?0.

???2I19. 一截面半径为b无限长直圆柱导体，均匀地流过电流I，则储存在单位长度导

体内的磁场能为__________________.

?1rB?2?r??0IW??2?012?r2?b2?B?b1?0Ir2?b2, 2?rdr??b0B2?rdr??222?0Ir2402?04?b?0I2r3dr4?b4??0I2b416?b4??0I216?

20. 在同轴电缆中填满磁导率为?1,?2的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。设电流为 I(如图),

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则介质?1中和介质?2中离中心轴r的磁感应强度分别为_______ 。

??解：由边界条件可知，B和H必沿着圆周切线，并有?1H1??2H2，又因为

?rH1??rH2?I，故有?rH1??r ?H1?

?2I?r(?1??2)?1?2H1?I

?1?2I?r(?1??2)?2

IB2n?B1n?B1tH2t?H1t?0?B1?B2??121. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为：

??S??ds?d??dt?vwdV??v?????f?vdV,则该表达式中s，w，f?v??wdV??f?vdV,则该表

v的物理意义分别为: 电磁场的能流密度,能量密度,场对V内电荷作功的功率密度.

??d22. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为： ??s?d??Sdt?v达式中三大项的物理意义分别为：单位时间通过界面S流入V内的能量, V内电磁场能量增加率,场对V内电荷作功的功率.

23. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的微分形式为:

物理量

??????s??w/?t?f?v,则该表达式中

????????,H的关系为s?E?H,w与E,D,H,B的关系为

??????????D??B???w, 与的关系为f?vE,Jf?v?J?E ?E??H??t?t?t??24. 设半径为R，高为l的圆柱体磁介质（磁导率为?），处于均匀磁场B中均匀磁化，B与柱轴

与

平行，求该圆柱体磁介质中的总磁能（忽略边缘效应）_________.

???均匀磁化在圆柱体磁介质表面，产生垂直于B的圆形磁化面电流。设n沿着界面R方向。

?s?EB2n?B1n?0H2t?H1t1??B2R2l22?H???W??H?Rl? 2??022?0BB内25. 同铀传输线内导线半径为a,外导线半径为b,两导线间为均匀绝缘介质.导线载有电流I,两导线

间的电压为U.若忽略导线的电阻，则介质中的能流为UI.

s的大小为UI/(2?r2lnba)，传输功率

??二、已知P为电偶极子的电偶极矩,r为从电偶极子中心指向考察点P的矢径,试证明电偶极子在远

?处P点所激发的电势为?(r)?解、 ????P?r4??r3???,并求出r处的P点所产生的电场强度E(r)。

q4??r??q4??r??q(r??r?)qlcos??4??r?r?4??r2- 3 -

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??P?r??4??r3? (1分) P为常矢

??????P?rP?r?1??3? ???4??r3?4????r???????P?rE?????????4??r3??E?????????3P?rrP??? ?53??rr?????三、已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)???(x',t)x'dV'，利用电荷守恒定律

V????P3P?rr1??4??r34??r54????????????dp(t)???(x',t)'??J(x',t)dV'。 ??J(x',t)??0，证明p(t)的变化率为

Vdt?t?证明：由p(t)????dp(x',t)??(x',t)???x'dV'Vdt?t ????????''???[??J(x',t)]x'dV'???[??J(x',t)](x'i?y'j?z'k)dV'VV???????(x',t)'及电荷守恒定律?(x',t)x'dV'??J(x',t)??0得?V?t

又因为

?????Jy'(x',t)dV'j； 同理 ?[??J(x',t)]y'jdV'???V'V'?????'?[??J(x',t)]z'kdV'???Jz'(x',t)dV'k；

'??????????[?'?J(x',t)]x'idV'???'?(J(x',t)x')dV'i??Jx'(x',t)idV'VVV???????? ??x'J(x',t)?ds'i??Jx'(x',t)dV'i???Jx'(x',t)dV'iSVV????(?J(x',t)?ds'?Jn(x',t)ds'?0)??????''[??J(x',t)]x'???(J(x',t)x')??x'?J(x',t)??????? ?''???(J(x',t)x')?i?J(x',t)???(J(x',t)x')?Jx'(x',t)'??dp(x',t)??故有

dt另解：

V'?V??J(x',t)dV

V'??????dp(x',t)??(x',t)?'??x'dV'???[??J(x',t)]x'dV'VV dt?t???????????'?[J(x',t)x']?[?'?J(x',t)]x'?J(x',t)?(?'x')?????????'?又??x'?(i?j?k)(x'i?y'j?z'k)?x'?y'?z' ???????ii?jj?kk- 4 -