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（浙江专版）2019年高中数学 课时跟踪检测（十六）空间向量运算
的坐标表示 新人教A版选修2-1
1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则( ) A．x＝1，y＝1 13C．x＝，y＝－ 62
11
B．x＝，y＝－
2213
D．x＝－，y＝
62
2x1313
解析：选C 因为a与b共线，所以＝＝，所以x＝，y＝－.
1－2y9622．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则OA与BO的夹角是( ) π2π
A．0 B．π C. D.
23解析：选B ∵OA·OB＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且|OA|＝33，|OB|＝63， 54
∴cos〈OA，OB〉＝＝1，
33×63
∵〈OA，OB〉∈[0，π]，∴〈OA，OB〉＝0.∴〈OA，BO〉＝π. 3．在空间直角坐标系中，i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，则与i，j，k所成角都相等的单位向量为( )
A．(1,1,1)
?111?B.?，，? ?333?
C.?D.?
33??3
，，? 33??3
33??333??3
，，?或?－，－，－? 33??333??3
解析：选D 设所求的单位向量为a＝(x，y，z)，则由与i，j，k所成角都相等得到a·i＝a·j＝a·k，所以x＝y＝z，且x＋y＋z＝1，所以x＝y＝z＝
2
2
2
33
或－. 33
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( ) A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，
BC＝(2，－3,1)，
∴|AB|＝3＋4＋8＝89， |AC|＝5＋1＋7＝75，
2
2
2
222
|BC|＝2＋3＋1＝14，
22∴|AC|＋|BC|＝75＋14＝89＝|AB|.
2
2
2
∴△ABC为直角三角形．
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为( )
A．±666 B. C．－ 666
D．±6
解析：选C ∵OA＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)， ∴OA＋λOB＝(1，－λ，λ)， ∴(OA＋λOB)·OB＝λ＋λ＝2λ，
|OA＋λOB|＝1＋λ＋λ＝1＋2λ，|OB|＝2.
2
2
2
∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ
112
＝－，∴λ＝. 2
262·1＋2λ<0，∴λ＝－6. 6
2λ
又
2
6．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)， ∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝29，∴16＋(1－λ)＋λ＝29. ∴λ－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：3
7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________． 解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos
2
2
2
a·bθ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反
|a||b|
向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________． 解析：由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．
∴|b－a|＝
2
＋t2
＋t－
2
＋0
2
＝5t－2t＋2＝
?1?295?t－?＋. ?5?5
135
∴当t＝时，|b－a|的最小值为. 5535
答案：
5
9．空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求： (1)△ABC的面积； (2)△ABC的AB边上的高．
解：(1)因为AB＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，
AC＝(2,0，－8)，
AB·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
且|AB|＝14，|AC|＝217， 所以cos〈AB，AC〉＝－1414×217
＝－， 2387
sin〈AB，AC〉＝
12
27， 34
S△ABC＝|AB|·|AC|sin〈AB，AC〉
＝
1
14×217×2
27
＝321. 34
(2)| AB|＝14，设AB边上的高为h， 1
则|AB|·h＝S△ABC＝321，∴h＝36. 2
10.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，
A1P＝λA1B，且PC⊥AB.求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0，1,2)，
于是AB＝(3，1,0)，CA1＝(0，－2,2)，A1B＝(3，1，－2)．
因为PC⊥AB， 所以CP·AB＝0，
即(CA1＋A1P)·AB＝0， 也即(CA1＋λA1B)·AB＝0. 1
故λ＝－＝.
A1B·AB 2(2)由(1)知CP＝?
3??3
，－，1?，AC1＝(0,2,2)，
2??2
CA1·AB－3＋22
cos〈CP，AC1〉＝＝＝－，
8| CP||AC1|2×22所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是
2
. 8
CP·AC1层级二 应试能力达标
1．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( ) A.
11a＝b |a||b|
B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3 C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 D．存在非零实数k，使a＝kb
解析：选D 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.
2．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则|AB|的取值范围是( ) A．[0,5] C．(1,5)
解析：选B 由题意知， |13－
B．[1,5] D．(0,5)
AB|＝α－θ
，
θ－3cos α
2
＋θ－3sin α
2
＋－
2
＝
∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB|≤5.
3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A.62
7
B.63 7