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第9章多元函数微分学

习题三十九 多元函数的概念

一、填空题

x?3yz?x3y?y3x?11、设f(x,y)?2，则，f(?1,2)?______； 2x?y2、设f(x,y)?x2?2y，则f(xy,x?y)?______；

y3、设f(x?y,)?x2?y2，则f(x,y)?_____；

x4、limln(|x|?ey)?_____________ ；

x??1y?05、lim[x?0y?1sin(2xy)?1]?_________________； x6、函数f(x,y)?1在 _______ 处间断。 22sin(x?y?1)二、求下列函数的定义域，并作出定义域的草图：

4x?y2arcsinyz?1、z?； 2、。

ln(1?x2?y2)x三、求下列二重极限 1、

limx?0y?0x2?y2x2?y2?1?1 2、

lim(1?x???y??1xy) xy

11?cos(x?y2)xsinsiny 3、lim 4、lim2xx?yx?0x?0y?0y?0

四、设圆锥的高为h，母线长为l，试将圆锥的体积v表示为h，l的二元函数。 五、下列函数在（0，0）点是否连续？并说明原因。

?1,x2?y2?01、f(x,y)?x?y； 2、f(x,y)??； 22?0,x?y?022

习题四十 偏导数

一、 是非题

1、 设z?x2?lny，则

?z1?2x?； ?xy2、 若函数z?f(x,y)在p(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存啊，则

该函数在p点处一定连续；

3、 函数z?f(x,y)在p(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)；

xy??4、 函数f(x,y)??x2?y2,x2?y2?0在（0，0）处有fx(0,0)?0及

?0,x2?y2?0?fy(0,0)?0；

5、 函数z?x2?y2在点（0，0）处连续，但该函数在（0，0）处的两个偏导数zx?(0,0)，

zy?(0,0)均不存在。

二、填空题 1、 设z??zlnx?zx?2?______|y?1?_______； ，则； 2?xy?y2、 设f(x,y)在点（a,b）的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均在，则

limh?0f(a?h,b?f(a,b?2h)?______。

h2xy?sin(xy)

x2?ey三、求下列函数的偏导数：

331、z?xy?yx?1 2、z?3、z?(1?xy) 4、z?lntanyx y5、u?xy?yz?zx

222?2z?2z?2z四、求下列函数的2，2和 ：

?x?y?x?y1、z?x3?3x2y?y4?2 2、z?arctan五、计算下列各题

1、 设f(x,y)?e?sinx(x?2y)，求fx(0,1)、fy(0,1)；

x。 y?2zx?1?2zx?1?2zx?12、 设f(x,y)?xln(x?y)，求2|y?2，2|y?2，|y?2。

?x?y?x?y六、设z?ln(x?y)，证明： x1313?z?z1?y?。 ?x?y3

习题四十一 全微分

一、填空题

1、z?x2y?exy在点(x,y)处的du?_____；

2、z?xx?y22在点(0,1)处的du?______；

3、 设z?f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为z，全微分为dz，则f(x,y)在点

(x0,y0)处的全增量与全微分的关系式是_______。

二、 选着题

1、在点p处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（ ）； A、f的全部二阶偏导数均存在 B、f连续

C、f的全部一阶偏导数均连续 D、f连续且fx、fy均存在

2、使得df?f的函数f为（ ）。

A、ax?by?c（a、b、c为常数） B、sinxy

22C、e?e D、x?y

xy三、 设z?x2y，当x?0.1，y?0.2时，在(1,2)点处，求x和dz。

四、求下列函数的全微分

1、z?2x2?3xy?y2?1； 2、；z?siny； x3、f(x,y)?ln(3x?2y),df(1,1)； 4、f(x,y,z)?xyx,df(2,1,3)。 五、 求(1.97)1.05(ln2?0.693)的近似值。

六、已知边长为x?6m与y?8m的矩形，如果x边增加5cm，而y减少10cm，

问这个矩形的对角线的近似变化怎样？

习题四十二 多元复合函数的求导法则

一、填空题

；1、z?arcsin(x?y),x?3t,y?4t，则2、z?uv?uv,u?xcosy,v?xsiny，则

3dz?_____； dt?z?z?_____， ?______； ?x?y；

3、设 z?f(u,v,?)?u?v?，而u?x?y,v?x,??xy,dz?____4、 设z?f(x2?y2,exy)，则

2?z?z?______，?_____； ?x?ydydy?____,|x?0_______; dxdxdy6、设siny?ex?xy2?0，则?______。

dxydzt2t二、设z?，而x?e,y?1?e,求。

xdt5、设x2?y2?1,三、设z?u2lnv,u?3x?2y,求

?z?z,。 ?x?y

?z?z?2zxz四、求方程?ln确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数、、。

?x?y?x2zy

?z?2z,2。 五、设z?f(xy,xy)，求

?x?x22

22六、设x?z?yf(x?z)，其中f可微。证明：

z?z?z?y?x。 ?x?y

习题四十三 偏导数的几何应用

一、填空题

1、 曲线x?t?sint,y?1?cost,z?4sint?，在对应t?的点处的切线方22程为 ________，法平面方程为________；

2、曲面z?2x2?3y2在点(1,1,5)处的切面平面方程为______，法线方程

为______。 a) 二、求曲线

?y?2x2z?3x?1?在点M(0,0,1)处的切线方程和法平面方程。

b) 求曲线x?t,y?t2,z?t3,与平面x?2y?z?4平行的切线方程。 c) 为使平面3x?ky?3z?16相切，求k。

d) 证明球面x2?y2?z2?a2上任一点处的法线均通过球心。

习题四十四 多元函数的极值

一、是非题

1、 由极值的定义知函数z?x?4y在点M(0,0)处取得极小值；（ ） 2、 函数z?xy在点(0,0)处取得极小值零；（ ） 3、 二元函数的驻点必为极值点；（ ）

2224、二元函数的最大值不一定是该函数的极大值。（ ）

二、 填空题

1、 设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在_____________点

(1,?1)取得极值，则常数a?________；

2、 函数f(x,y)?x2?xy?y2?y?1在__________点取得极

__________值为__________。

三、求f(x,y)?e(x?y?2y)的极值。 四、已知f(x,y)?xy，

2x2