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高等数学学习指导

第七章 微分方程

1.一阶微分方程

（1）微分方程的基本概念： ?、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。未知函数是一元函数，叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。

?、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。

?、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。

④、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

⑤、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。

dy?f(x)g(x)的方程称为可分离变量微分方程。设g(y)?0,则可将方程（2）可分离变量方程：形如dx化为

dyf(x)dx，其特点是方程的一端只含有y的函数dy，另一端只含有x的函数dx，即将两个变g(y)量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。

yydydu?u?x（3）齐次方程：形如y＇?f()的方程称为齐次方程。其解法是做变换u?，则y=ux,,

xxdxdx代入方程化为可分离变量的微分方程。

dy?P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中（4）一阶线性微分方程：形如dx的未知函数及其导数为一次的。如果Q(x)?0，则称为一阶线性齐次微分方程；如果Q(x)不恒等于零 ，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为

y?e??P(x)dx(?Q(x)e?P(x)dxdx?C。

（5）伯努利方程：形如y'?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1)的方程称为伯努利方程。次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n次方幂。其解法是做变量替换z?y1?n，则：

dzdydy1dz?(1?n)y1?n,即y1?n?, dxdxdx1?ndxdz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x), 代入原方程，得： dx这是一个线性非齐次微分方程，再按线性非齐次微分方程的解法求出通解；最后以z?y1?n换回原变量，即为所求。

2、高阶微分方程，常系数线性微分方程： （1）可降价的高阶微分方程：

?、y(n)?f(x)：其特点是右端仅含有自变量x，通过连续积分n次得到通解。

?、y''?f(x,y')：其特点是方程不显含未知函数y。令y'?p(x),则y''?p'，代入原方程化为一阶微分

整理者：李拥军

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方程。

?、y''?f(y,y')：其特点是不显含自变量x。令y'?p(y),则y''?p（2)高阶线性微分方程：

?、二阶线性微分方程的结构：

a.设y1,y2是二阶齐次线性方程y''?p(x)y'?q(x)y?0的线性无关的特解，则y(x)?C1y1?C2y2是它的通解，其中C1，C2是任意常数。

b.设y*是非齐次线性方程y''?p(x)y'?q(x)y?f(x)的一个特解，y1，y2是对应的齐次线性方程的两个线性无关的特解，则废齐次方程的通解为y?C1y1?C2y2?y*.

c.叠加原理：设二阶线性非齐次微分方程的右端f(x)是几个函数之和，如：

dp,代入原方程化为一阶微分方程。 dyy''?P(x)y'?Q(x)y?f1(x)?f2(x),

****而y1那么y1就是原方与y2分别是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f1(x)与y''?P(x)y'?Q(x)y?f2(x)的特解，?y2程的特解。

?、高阶常系数齐次线性微分方程、欧拉方程的解法：

a.二阶常系数齐次线性微分方程y''?py'?qy?0(其中p、q是常数），其解法如下： （i)写出对应的特征方程r2?pr?q?0,并求出特征根r1、r2. （ii)根据特征根情况写出通解：

若r1?r2,且为实根，则通解为y?C1er1x?C2er2x;若r1?r2,则通解为y?(C1?C2x)er1x;若r1,2????i是复根，则通解为y?e?x(C1cos?x?C2sin?x).b.n阶常系数齐次线性微分方程：对高阶常系数齐次线性微分方程根据其特征根的情况可类似写出其通解。

n阶常系数齐次线性微分方程其特征方程为：rn

?p1rn?1?p2rn?2???pn?1r?pn?0，

由代数学知道，n次代数方程有n个根r1,r2,r3,?，rn.这n个根对应微分方程通解y中的n项，每项含一个任意常数，即y?C1y1?C2y2?...?Cnyn.通解中的每一项与特征方程中的根的对应关系为： （i）若特征方程有单实根r，则通解中有一项Ce；

?x（ii）若特征方程有单复根r1,2???i?,则通解中有两项e(C1cos?x?C2sin?x).rx

（iii）若特征方程有k重实根r,则通解中有k项：

整理者：李拥军

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erx(C1?C2x?...?Ckxk?1);

（iv）若特征方程有k重复根r1,2???i?，则通解中有2k项：

e?x[(C1?C2x?...?Ckxk?1)cos?x?(D1?D2x?...?Dkxk?1)sin?x].

n(n)n?1(n?1)（其中p1,p2,...,pn为常数）xy?pxy?...?pn?1xy'?pny?f(x)的方程1c.欧拉方程.形如称为欧拉

方程，其特征是在方程每一项，未知函数导数的阶数与其系数函数x的幂方次数相同。求解方法是：

ttx?e即t?lnx(这里x?0;若x?0,则设x??e),将y看作t的函数，则有： 利用变量代换，设

dydydt1dyd2y1dy1d2ydt1d2ydy??，??2??(?),dxdtdxxdtdx2xdtxdt2dxx2dt2dtd3y1d3yd2ydy?(?3?2).dt3x3dt3dt2dtd为了书写简便，引入记号?D,则上述结果 dtdy1dyd2y1d2ydy?,即xy'?Dy;2?2(2?),即x2y''?(D2?D)y?D(D?1)y;dxxdtdxxdtdt332d3y1d3yd2ydy即xy'''?(D?3D?2D)y?D(D?1)(D?2)y.?(?32?2)， dt3x3dt3dtdt一般地，xky(k)?D(D?k?1)y,k?1,2,....将之代入欧拉方程，就得到啊一个以t为自变量的常数线性微分方程；求出其通解后，再将t换为

lnx，便得到原方程的通解。

?、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法：y''?py'?qy?f(x)(其中p,q是常数）。

?xk?x当f(x)?eP(x),?是常数，P(x)是x的m次多项式时，原方程具有形如y*?xeQm(x)的特解，其mma.

中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，且：

?0，?不是特征方程的根?k??1，?是特征方程的单根?2，?是特征方程的重根?b.当f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]时，原方程具有形如(1)(2)(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x]的特解，其中Rm,Rm

是m次多项式，m?max?l,n?,而?0，??i?不是特征根k???1，??i?是特征根

整理者：李拥军