内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:11:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
二元函数极限证明
二元函数极限证明
设p=f(x,y),p0=(a,b),当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外,我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形:’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等,但二重极限仍可能不存在 2
函数f(x)当x→x0时极限存在,不妨设:limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)
又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|
证毕
3首先,我的方法不正规,其次,正确不正确有待考察。
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二元函数极限证明
1,y以y=x^2-x的路径趋于
0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2,3可以用类似的方法,貌似同济书上是这么说的,二元函数在该点极限存在,是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4
f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y|
所以显然当x->0,y->0时,f的极限就为0
这个就是你说的,唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷,我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5
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二元函数极限证明
(一)时函数的极限: 以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限: 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义:单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
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二元函数极限证明
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:函数极限的性质及其计算。 教学难点:函数极限性质证明及其应用。 教学方法:讲练结合。 一、组织教学:
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
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(二)利用极限性质求极限:已证明过以下几个极限: (注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 §2二元函数的极限 (一)教学目的:
掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与联系.
(二)教学内容:二元函数的极限的定义;累次极限. 基本要求:
(1)掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与联系,熟悉判别极限存在性的基本方法.
(2)较高要求:掌握重极限与累次极限的区别与联系,能用来处理极限存在性问题.
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