内容发布更新时间 : 2024/12/25 1:07:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
二元函数极限证明
(三)教学建议:
(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别,教会他们求多元函数极
限的方法.
(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系,通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法.
一二元函数的极限
先回忆一下一元函数的极限:limf(x)?a的“???”定义(c31): x?x0
0设函数f(x)在x0的某一空心邻域u(x0,?1)内由定义,如果对 ???0,
当
x?u(x0,?)
,
即
|x?x0|??
时
,
都
有
|f(x)?a|??,???0,???1,
则称x?x0时,函数f(x)的极限是a.
类似的,我们也可以定义二元函数的极限如下:
设二元函数f(x,y)为定义在d?r2上的二元函数,在点p0(x0,y0)为d的一个聚点,
a是一个确定的常数,如果对???0,???0,使得当p(x,y)?u(p0,?)?d时,0都有|f(p)?a|??,则称f在d上当p?p0时,以a为极限。记作
p?p0p?dlimf(p)?a
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二元函数极限证明
也可简写为limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0)
2limf(x,y)?a例1用定义验证 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|
?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|
限制在(2,1)的邻域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6
取??min{1,?/6},则有 |x?xy?y|??
由二元函数极限定义lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y
,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y, ?0,(x,y)?(0,0)?
证
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证明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22
证|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0
对于二元函数的极限的定义,要注意下面一点: p?p0
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limf(p)?a是指:p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0),包括沿任何直线,沿任
何曲线趋于p0(x0,y0)时,f(x,y)必须趋于同一确定的常数。 对于一元函数,x仅需沿x轴从x0的左右两个方向趋于x0,但是对于二元函数,p趋于p0的路线有无穷多条,只要有两条路线,p趋于p0时,函数f(x,y)的值趋于不同的常数,二元函数在p0点极限就不存在。
?1,0?y?x2
例1二元函数f(x,y)?? ?0,rest
请看图像(x62),尽管p(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零,但也不能说该函数在原点的极限就是零,因为当p(x,y)沿抛物线y?kx,0?k?1时,f(x,y)的值趋于1而不趋于零,所以极限不存在。
(考虑沿直线y?kx的方向极限).?x2y ,?
例2设函数f(x,y)??x2?y2 ?0,?
(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求证limf(x,y)?0
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x?0 y?0
证明因为|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y|
所以,当(x,y)?(0,0)时,f(x,y)?0。
请看它的图像,不管p(x,y)沿任何方向趋于原点,f(x,y)的值都趋于零。
通常为证明极限limf(p)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两
p?p0
个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.
但应注意,沿任何方向的极限存在且相等??全面极限存在.例3 设函数
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y
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