内容发布更新时间 : 2024/5/6 1:18:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

二元函数极限证明

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若 有 ,其中 。

求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理

来计算。例4求。解由于 , 而

,根据夹逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 （

。例6求。解

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二元函数极限证明

由于理知

且,所以根据夹逼定 .例7 研究函数 在点

处极限是否存在。解当x2

+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0

）的极限，有值，可得到不同的极限值,所以极限 不存在,但

,。很显然，对于不同的k 。

注意：极限方式的 的区别,前面两个求

本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。 例8

设函数极限都不存在,因 为对任何

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二元函数极限证明

,当 时 ,

。它关于原点的两个累次 的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第一项也不存在极限, 但是因此 。

由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1若累次极限

都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等, 则二重极限 不 存在 和二重极 限

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, 由于 ,

存在。定义设

在点的某邻域内有意义, 且称 函 数 ,则 在 点 处 连 续 , 记

上式称为函数(值)的全增量 。 则。

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二元函数极限证明

定义 增量。

为函数(值)对x的偏 二元函数连续的定义可写为 偏增量。 若 断点,若 在点

为函数（值）对y的 处不连续, 则称点 是 的间 在某区域

在区域g上连续。若 在闭区域g

g上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点 处成立 , 则称

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