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二元函数极限证明

为连续曲面。

在闭域g上连续。闭域上连续的二元函数的图形称

关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、cantor 定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设 在平面有界闭区域g上连续,则

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2 ） ,当 时,都有

。以上关于二元函数的 在g上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。 函数极限的证明 (一)时函数的极限： 以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

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二元函数极限证明

例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不

教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。

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等式性质以及有理运算性等。二元函数极限证明

教学方法：讲练结合。 一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

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二元函数极限证明

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 函数极限证明 函数极限的性质证明 函数极限的定义证明 利用函数极限定义证明11 用定义证明函数极限方法总结

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