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武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷

《计算方法》 （A卷） （36学时用）

学院： 学号： 姓名： 得分：

一、（10分）已知y?f(x)的三个值

xi 0 1 2 yi 0.2 -1.8 1.8 （1） 求二次拉格朗日插值 L2(x)； （2）写出余项R2(x)。

二、（10分）给定求积公式

?

1?1f(x)dx?f(?13)?f(

13)

求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。

?2aa0???A??0a0??00a???，说明对任意实数a?0，方程组AX?b都是非病态的（范数用三、（10分）若矩阵

??

）。

四、（12分）已知方程ex?10x?4?0在[0,0.4]内有唯一根。

迭代格式A：xn?1?ln(4?10xn)；迭代格式B：xn?1?试分析这两个迭代格式的收敛性。

1(4?exn)10

?a11??a?21

五、（12分）设方程组

a12??x1??b1????x?????b??，其中a11a22?0， a22???2??2? 分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。

六、（12分）已知y?f(x)的一组值 xi f(xi)

1.0 1.2 1 .4 1 .6 1.8 2 .0 2.2 -1 -2 0 2 3 4 1

2.21.0分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ?f(x)dx

七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。

5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 x-1 0 1 2 y（人数） 160 226 279 403 日期 根据上面数据，求一条形如y?ax2?bx的最小二乘拟合曲线。

八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：

?y??x?y2（取步长h?0.5） x?[0,1]。??y(0)?1

九、（10分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程x2?c?0的正根。（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；

（2）证明对任意初值x0?c, 牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.

武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷

1、解：（1）二次拉格朗日插值为

L2(x)?0.2??f'''(?)x(x?1)(x?2) （2）余项为R2(x)?3!(x?1)(x?2)(x?0)(x?2)(x?0)(x?1)5211?(?1.8)??1.8??x?x?2(0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)22

2、解：当f(x)?1时，左边=2,右边=2； 当f(x)?x时，左边=0,右边=0； 2

22当f(x)?x时，左边=,右边=；

33,当f(x)?x3时，左边=0右边25= ； 29当f(x)?x4时，左边=,右边=,左边?右边； 于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。

?1/2a?1/2a0???1/a0??||A?1||??1/|a| 3、解：A?1??0?001/a??? ||

而|A|??||a，于是3co(n?d)?A||??1A||??，|A|

3所以题干中结论成立。

4、解：（1）对于迭代格式A：xn?1?ln(4?10xn)，

)其迭代函数为?(x?5|?x(?)|?，

2?5x所以发散。

?105l?nx(?410??)，在[0,0.4]内

4?1x0?x25

1

（2）对于迭代格式B：xn?1?其迭代函数为?(x)??

1(4?exn)， 10lxe，在[0,0.4]内10

1x|?x(?)e|?， 110所以收敛。 5、解：（1）Jocobi迭代法：

1

1)?x1(k???1/a1?(k?1)?????0?x2?0??0a??1x12k?(?1/)a???????1/a22??a210??x2(k)??001??1b???? 1/a22??b2? 1

?0????a21/a22因为

a12/a11??x1(k)??b1/a11???(k)???? 0??x2??b2/a22?a1/2a22?a2/1a?=1?21?a2a112??0???a1a122aa|aa21??|J?11122aa| aa2 |121 112221（2）Gauss-Seidel迭代法：

1)0??0a12??x1k?(?)1/a110??b??x1(k???1/a11?(k?1)?????(k)???????? ???a21/a11a221/a22??00??x2???a21/a11a221/a22??b2??x2?