内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:31:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
概率论与数理统计 习题解答
第一章 习 题
1.写出下列试验下的样本空间: (1)将一枚硬币抛掷两次
答:样本空间由如下4个样本点组成??{(正,正,)正(反,,)反(正,,反)(反, )(2)将两枚骰子抛掷一次
答:样本空间由如下36个样本点组成??{(i,j)i,j?1,2,3,4,5, 6} (3)调查城市居民(以户为单位)烟、酒的年支出
答:结果可以用(x,y)表示,x,y分别是烟、酒年支出的元数.这时,样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .??{(x,y)x?0,y?0} 2.甲,乙,丙三人各射一次靶,记A?“甲中靶” B?“乙中靶” C?“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件: (1) “甲未中靶”: A; (2) “甲中靶而乙未中靶”: AB; (3) “三人中只有丙未中靶”: ABC;
(4) “三人中恰好有一人中靶”: ABC?ABC?ABC; (5)“ 三人中至少有一人中靶”: A?B?C;
(6)“三人中至少有一人未中靶”: A?B?C;或ABC;
(7)“三人中恰有两人中靶”: ABC?ABC?ABC; (8)“三人中至少两人中靶”: AB?AC?BC; (9)“三人均未中靶”: ABC; (10)“三人中至多一人中靶”: ABC?ABC?ABC?ABC; (11)“三人中至多两人中靶”: ABC;或A?B?C; 3 .设A,B是两随机事件,化简事件
(1)(A?B)(A?B) (2) (A?B)(A?B) 解:(1)(A?B)(A?B)?AB?AB?B?B,
(2) (A?B)(A?B)?AB?AB?B?(A?A??)B?B.
4.某城市的电话号码由5个数字组成,每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个,求电话号码由五个不同数字组成的概率.
5P10解:P?5?0.3024.
105.n张奖券中含有m张有奖的,k个人购买,每人一张,求其中至少有一人中奖的概率。
1
概率论与数理统计 习题解答
解法一:试验可模拟为m个红球,n?m个白球,编上号,从中任取k个构成一组,则总数为C,而全为白球的取法有Cknkn?m种,故所求概率为1?kCn?mkCn。
解法二:令Ai—第i人中奖,i?1,2,?.k,B—无一人中奖,则B?A1A2?Ak,注意到
A1,A2,?,AkP(B)?P(A1)P(A2不
)P(独
A3立也
Ak不互
)斥:由乘法公式
A1A1A2)?P(A1?Ak?1n?m(n?m?1)(n?m?2)(n?m?k?1)????nn?1n?2n?k?1Cnk?mCnk?m同除k!,故所求概率为1?k
CnkCn.
6.从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中“至少有两只配成一双”(事件A)
的概率是多少?
12C5C8?C52解:P(A)? 4C107.在??1,1?上任取一点X,求该点到原点的距离不超过
1],所求事件解:此为几何概率问题:??[?1,1的概率. 51111占有区间 [?,],从而所求概率为P?5?. 55252?8.在长度为a的线段内任取两点,将其分成三段,求它们可以构成一个
三角形的概率。
解:设一段长为x,另一段长为y,样本空间?:0?x?a,0?y?a,0?x?y?a,
a?0?x??2?a?所求事件满足: ?0?y?
2??x?y?(a?x?y)??从而所求概率=
S?CDE1?. S?OAB49. 从区间(0,1)内任取两个数,求这两个数的乘积小于
1的概率。 42
概率论与数理统计 习题解答
解:设所取两数为X,Y,样本空间占有区域?,两数之积小于所求概率
P?111:XY?,故44S(?)?S(D)1?S(D)?,
S(?)1而S(D)?1?(1?4111)dx?1?(1?ln4),故所求概率为(1?ln4。) 4x4410.设A、B为两个事件,P(A)?0.9,P(AB)?0.36,求P(AB)。 解:P(AB)?P(A)?P(AB)?0.9?0.36?0.54;
11.设A、B为两个事件,P(B)?0.7,P(AB)?0.3,求P(A?B). 解:P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?[P(B)?P(AB)]?1?[0.7?0.3]?0.6. 12.假设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7,若A、B互不相容,求P(B);若A、
B相互独立,求P(B)。
?0.?7 解:若A、B互不相容,P(B)?P(A?B)?P(A)0.?4;0.
B)得P(B)=0.5. 若A、B相互独立,则由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(可
13.飞机投弹炸敌方三个弹药仓库,已知投一弹命中1,2,3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.
解:设A?{命中仓库},则A?{没有命中仓库},又设Ai?{命中第i仓库}(i?1,2,3)则P(A1)?0.01,P(A2)?0.02,P(A3)?0.03, 根据题意A?A1?A2?A3(其中A1,A2A3两两互不相容) 故P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)=0.01+0.02+0.03=0.06 所以P(A)?1?P(A)?1?0.06?0.94 即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94
14.某市有50%住户订日报,有65%的住户订晚报,有85%的住户至少
订这两种报纸中的一种,求同时订这两种报纸的住户的百分比
3
概率论与数理统计 习题解答
解: 设A?{用户订有日报},B={用户订有晚报},则A?B?{用户至少订有日报和晚报一种},AB?{用户既订日报又订晚报},已知
P(A)?0.5,P(B)?0.65,P(A?B)?0.85,所以
P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.5?0.65?0.85?0.3
即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%
15.一批零件共100个,次品率为10%,接连两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回,求第二次才取得正品的概率。
解:设A?{第一次取得次品},B?{第二次取得正品},则
AB?{第二次才取得正品},又因为P(A)?1090,P(BA)?,则 10099P(AB)?P(A)P(BA)?1090?0.0909
1009916.设随机变量A、B、C两两独立,A与B互不相容. 已知P(B)?2P(C)?0
5且P(B?C)?,求P(A?B).
8解:依题意P(AB)?0且P(AB)?P(A)P(B),因此有P(A)?0. 又因
5P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?3P(C)?2[P(C)]2?,解方程
82[P(C)]2?3P(C)?5?0 8151P(C)?,[P(C)?舍去]?P(B)?,P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(B)?0.5.
44217.设A是小概率事件,即P(A)??是给定的无论怎么小的正数.试证明:当试验不断地独立重复进行下去,事件A迟早总会发生(以概率1发生).
,2n,,∵解:设事件Ai—第i次试验中A出现(i?1?P(Ai)??,P(Ai)?1??,(i?1,2,?,n),∴n次试验中,至少出现A一次的概率
为
P(A1?A2???An)?1?P(A1?A2???An)?1?P(A1A2?An)
?1?P(A1)?P(A2)???P(An)(独立性) ?1?(1??)n
4