内容发布更新时间 : 2024/6/11 16:54:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
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一、填空题（每小题5分，共25分）
1、在P?X?中，向量1?x?x2关于基1,x?1,x2?3x?2的坐标为 。 2、向量组?1??1,2,?1?,?2??2,4,?2?,?3??3,0,3?,?4??1,?1,2?,?5??5,?3,8?的秩 为 ，一个最大无关组为 .。
3、（维数公式）如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么 。
?3?4、假设A???1??5??2370???1?的特征根是 ，特征向量分别为 。 ?1??5、实二次型f?x1,x2,x3???4x1x2?2x1x3?2x2x3 的秩为
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、如果a1,a2,?,ar线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）
2、在P[x]中，定义变换Af(x)?f(x0),其中x0?P，是一固定的数，那么变换A是线性变换。（ ）
3、设W1,W2是向量空间V的两个子空间，那么它们的并W1?W2也是V的一个子空间。（ ）
4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令??(x1,x2,x3,x4)是R4的任意向量，那么?是R4到自身的线性变换。其中
?(?)?(x1,x2,x3,x4)。（ ）
22226、矩阵A的特征向量的线性组合仍是A的特征向量。（ ） 7、若矩阵A与B相似，那么A与B等价。（ ） 8、n阶实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量。（ ）
9、在M2(R)中，若W由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W是M2(R)的
子空间。（ ）
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10、齐次线性方程组(?E?A)X?0的非零解向量是A的属于?的特征向量。（ ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明：A可逆当且仅当A?1,A?2,?,A?n线性无关。（10）
2、设?是n维欧氏空间V的一个线性变幻，证明：如果?是对称变幻，?2=l是单位变幻，那么?是正交变换。（11）
3、设V是一个n维欧氏空间，证明：如果W1,W2都是V得子空间，那么
?W1?W2???W1??W?2。（10）
四、计算题（每小题8分，共24分）
?1?1、求矩阵A??3?6??3?5?63??3?的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P使得P?1AP为对4??角形矩阵。
?3?'UA?2、求一个正交矩阵，使得UAU使对角形式，其中?2?0?24?20???2?。 5??3、化二次型 f?x1,x2,x3???4x1x2?2x1x3?2x2x3为平方和，并求所用的满秩线性
变换。
科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
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一、填空题（每小题5分，共25分）
1、（3,4,1）
2、秩为2，一个最大无关组为?1,?3
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3、维（V1）+维（V2）=维（V1?V2）+维（V1?V2） 4、特征根是1，1，2，特征向量分别为?1??1,1,1?,?2??2,1,?1?, 5、秩为 3
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、（是 ） 2、（是 ） 3、（是 ） 4、（否 ） 5、（否 ） 6、（否 ） 7、（是 ） 8、（是 ） 9、（是 ） 10、（是 ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、证明 设A可逆，则A?1存在，且A?1也是V的线性变换，（1） 若A?1,A?2,?,A?n线性相关，则A?1(A?1),A?1(A?2),?,A?1(A?n)，(2)
即?1,?2,?,?n也线性相关，这与假设?1,?2,?,?n是基矛盾，故A?1,A?2,?,A?n线性无关。(5)反之，若A?1,A?2,?,A?n线性无关，因V是n维线性空间，故它也是V的一组基，(7) 故对V?中任意向量?1有?1?A(k1?1?k2?2???kn?n)，即存在
为V到V上的变换。(8)
使
A(?)??1?(k1?1?k2?2???kn?n)，使A(?)??1，故A若又有
??l1?1?l2?2???ln?n，，即
因为A?1,A?2,?,A?nA??l1A?1?l2A?2???lnA?n?(k1A?1?k2A?2???knA?n)，
是基，li?ki,(i?1,2,?,n)，即???，从而A又是一一的变换，故A为可逆变换。（10） 2、证：??????2???????,???????????,?????2????,???,?,(4)
=????,?????2????,???2???,? ,(8)
=2????,?????2????,?2???, (10)
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=0 ,（11）
3、证：（1）????W1?W2????W1??W2???W1?W2??W1??W2?,(5)
??同理?W1?W2??W1??W2?， (8)
?则?W1?W2??W1??W2?。 （10）
?四、计算题（每小题8分，共24分）
1、解：?E?A=(??2)2(??4)，则A的特征根为?1,2??2，?3?4, (3)
?1??1??1????????i(i?1,2,3)，它们对应的特征向量分别为?1??0?,?2??1?,?3??1?， (6)
??1??0??2????????1?易知?1,?2,?3线性无关，取P??0??1?1101???2???11?，那么就得PAP??0?02???0?200??0?。(8) 4??2、解：?E?A?(??1)(??4)(??7)，则特征根为?1?1,?2?4,?3?7， (3)
??2??2??1???????对应它们的线性无关的特征向量分别为?1??2?,?2??1?,?3??2?，
?1??2???2???????(6)
他们单位化后分别为
??2??2??1???2333???????3212?1??3?,?2??3?,?3??3?，取正交矩阵U??23?1??2???2??1?3??3??3??3?1?'UAU?则,?0?0?040231323??2， (7) 3???23?130??0?。 (8) 7??
?1?C? 3、解 x2?y1?y2 ，1?1?0x3?y3?x1?y1?y21?100??0? ，得 (2) 1??f??4(y1?y2)(y1?y2)?2(y1?y2)y3?2(y1?y2)y3
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