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初中数学竞赛辅导资料(9)

一元一次方程解的讨论

甲:内容提要

1.方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。

例如：方程2x＋6＝0;x（x-1）=0;|x|=6;0x=0;0x=2的解. 分别是：x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。

2.关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=

当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）

3.求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙:例题

例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2): ①有唯一的解？②无解？

③有无数多解？④是正数解？

解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=

②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。

b； a4 a4,∴只要a与4同号， a

例2 k取什么整数值时，方程

①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？

②（1－x）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k＋2）x=4

当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k－6， 当k≠0时x=

k?66=1－， kk只要k能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数 当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。

例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b ∵方程无解，∴a－b=0且b≠0 ∴a和b应满足的关系是a=b≠0。

例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7， 根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知

?3a?2b?8?0当 ?时，原方程有无数多解。

2a?3b?7?0?解这个方程组得??a?2

?b?1答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。 丙:练习

1.根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x

2.关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________. 3.在方程a(a－3)x=a中，

当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解； 当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。 4.k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？ ① x=

462k?33k?2 ②x= ③x= ④x= kk?1kk?15.k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6.m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？

3x?6a?2的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ ?1?42x28.m取什么整数值时，方程(?1)m?1?m的解是整数?

33b39.己知方程(x?1)?1?ax有无数多解，求a、b的值。

227.己知方程 答案：

1.①－1 ②±3 ③±9 ④无解 ⑤无解 ⑥无数多个解 2.a=1 3. a≠3,a≠0；a=3；a=0； a<3且a≠0 4.① k=±1,±2,±4 ②2，0，3，－1，4，－2，7，－5 ③±1，±3 ④4，－5，0－2（

3k?2?5） ?3?k?1k?15. ①k<0 ②k ≤0 6. ①m=－1 ②m＜－1 7. 2a+b>0 8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=±1,±3时，有整数解 9.化为最简方程(3a－b)x=b+2

2?a???3a?b?0? 当?时方程无解，解得?3

?b?2?0??b??2