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专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列

年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 卷Ⅲ 考查内容及考题位置 等差数列基本量的计算·T4 an与Sn关系的应用·T14 等差数列基本量的计算、和的最值问题·T17 等比数列基本量的计算·T17 等差数列的通项公式、前n项和公式·T4 等比数列的概念、前n项和公式、数学文化·T3 命题分析 等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列的前n项和公式、通项公式及等比中项·T9 等差数列、等比数列的性质考等比数列的通项公式·T14 查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n2016 卷Ⅰ 等差数列的基本运算·T3 等比数列的运算·T15 项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题.

等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式

等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn1.

－

求和公式

n（a1＋an）n（n－1）

等差数列：Sn＝＝na1＋d；

22a1（1－qn）a1－anq

等比数列：Sn＝＝(q≠1)．

1－q1－q 性质 等差数列 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 性质 an＝am＋(n－m)d Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 [考法全练] 等比数列 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq an＝amqnm －Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sn≠0)

S111．(2018·贵阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝( )

S511

A. 511C. 10

5B. 2222D. 5

11

（a1＋a11）

S11211a622

解析：选D.＝＝＝.故选D.

S555a35

（a1＋a5）2

2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A．－12 C．10

B．－10 D．12

3×24×3解析：选B.设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，

223

解得d＝－a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.

2

3．(2018·郑州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为 ( )

A．－3 C．－3或1

B．1 D．1或3

解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n，3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，

a1（1－qn）a1（1－qn2）所以Sn＝，Sn＋2＝，

1－q1－q

＋

代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有

2

???4－q＝0，?a1＝1，??a1＝－3，?解得?或?故a1＝1或－3，故选C. ?3＋3a1－3q＝0，?q＝2?q＝－2，???

a204．(2018·南宁模拟)在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝________．

a10

6

解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，由a2a6＝16得a2所以a1q3＝±4.由a4＋a8＝8，得a1q3(11q＝16，

a20＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1.于是＝q10＝1.

a10

法二：由等比数列的性质，得a24＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8，

???a4＝4，??a4＝－4，?a4＝4，a202

??所以或因为a6＝a4a8>0，所以?则公比q满足q4＝1，q2＝1，所以＝q10＝1.

a10?a8＝4?a8＝12.?a8＝4，???

答案：1

5．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn1.

－

由已知得q4＝4q2，

解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n

－1

或an＝2n1.

－

(2)若an＝(－2)

n－1

1－（－2）n

，则Sn＝.

3

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n1，则Sn＝2n－1.

－

由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.

等差、等比数列的判定与证明(综合型)

证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： an＋1

①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；

an②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．

[典型例题]

bn－1

设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝1＋bn－1

(n≥2，n∈N*)．

(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；

1

(2)判断数列{}是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．

bn【解】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；

an1

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即＝(n≥2，n∈N*)．

an－121

所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，

21?故数列{an}的通项公式为an＝??2?(2)因为a1＝1， 所以b1＝2a1＝2.

n－1

.