2019届高考数学二轮复习第二部分专项二专题三1第1讲等差数列与等比数列学案 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 16:05:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列

年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 卷Ⅲ 考查内容及考题位置 等差数列基本量的计算·T4 an与Sn关系的应用·T14 等差数列基本量的计算、和的最值问题·T17 等比数列基本量的计算·T17 等差数列的通项公式、前n项和公式·T4 等比数列的概念、前n项和公式、数学文化·T3 命题分析 等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列的前n项和公式、通项公式及等比中项·T9 等差数列、等比数列的性质考等比数列的通项公式·T14 查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n2016 卷Ⅰ 等差数列的基本运算·T3 等比数列的运算·T15 项和的最大、最小值等问题,主要是中低档题.

等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式

等差数列:an=a1+(n-1)d; 等比数列:an=a1·qn1.

求和公式

n(a1+an)n(n-1)

等差数列:Sn==na1+d;

22a1(1-qn)a1-anq

等比数列:Sn==(q≠1).

1-q1-q 性质 等差数列 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq 性质 an=am+(n-m)d Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列 [考法全练] 等比数列 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq an=amqnm -Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列(Sn≠0)

S111.(2018·贵阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=2a3,则=( )

S511

A. 511C. 10

5B. 2222D. 5

11

(a1+a11)

S11211a622

解析:选D.===.故选D.

S555a35

(a1+a5)2

2.(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( ) A.-12 C.10

B.-10 D.12

3×24×3解析:选B.设等差数列{an}的公差为d,因为3S3=S2+S4,所以3(3a1+d)=2a1+d+4a1+d,

223

解得d=-a1,因为a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故选B.

2

3.(2018·郑州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,Sn+2=4Sn+3恒成立,则a1的值为 ( )

A.-3 C.-3或1

B.1 D.1或3

解析:选C.设等比数列{an}的公比为q,当q=1时,Sn+2=(n+2)a1,Sn=na1,由Sn+2=4Sn+3得,(n+2)a1=4na1+3,即3a1n=2a1-3,若对任意的正整数n,3a1n=2a1-3恒成立,则a1=0且2a1-3=0,矛盾,所以q≠1,

a1(1-qn)a1(1-qn2)所以Sn=,Sn+2=,

1-q1-q

代入Sn+2=4Sn+3并化简得a1(4-q2)qn=3+3a1-3q,若对任意的正整数n该等式恒成立,则有

2

???4-q=0,?a1=1,??a1=-3,?解得?或?故a1=1或-3,故选C. ?3+3a1-3q=0,?q=2?q=-2,???

a204.(2018·南宁模拟)在等比数列{an}中,a2a6=16,a4+a8=8,则=________.

a10

6

解析:法一:设等比数列{an}的公比为q,由a2a6=16得a2所以a1q3=±4.由a4+a8=8,得a1q3(11q=16,

a20+q4)=8,即1+q4=±2,所以q2=1.于是=q10=1.

a10

法二:由等比数列的性质,得a24=a2a6=16,所以a4=±4,又a4+a8=8,

???a4=4,??a4=-4,?a4=4,a202

??所以或因为a6=a4a8>0,所以?则公比q满足q4=1,q2=1,所以=q10=1.

a10?a8=4?a8=12.?a8=4,???

答案:1

5.(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m. 解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn1.

由已知得q4=4q2,

解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n

-1

或an=2n1.

(2)若an=(-2)

n-1

1-(-2)n

,则Sn=.

3

由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2n1,则Sn=2n-1.

由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.

等差、等比数列的判定与证明(综合型)

证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法: ①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数; ②利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2). (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法: an+1

①利用定义,证明(n∈N*)为一常数;

an②利用等比中项,即证明a2n=an-1an+1(n≥2).

[典型例题]

bn-1

设Sn为数列{an}的前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足b1=2a1,bn=1+bn-1

(n≥2,n∈N*).

(1)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;

1

(2)判断数列{}是等差数列还是等比数列,并求数列{bn}的通项公式.

bn【解】 (1)当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;

an1

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,即=(n≥2,n∈N*).

an-121

所以数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,

21?故数列{an}的通项公式为an=??2?(2)因为a1=1, 所以b1=2a1=2.

n-1

.