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浅谈高中数学中不等式的证明

【摘 要】针对不同类型不等式，探讨相应的证明方法，使证明更简洁、

高效.

【关键词】 比较法；综合法；分析法；反证法；三角换元法；放缩法 不等式的证明是高中数学中的一个难点，其涉及面广、题型广泛、证发灵活多变。在高考中，命题方向重在考察逻辑推理能力，如何巧妙、简捷地实现不等式的论证，则需要选择正确的证明方法。下面我就高中数学中不等式的证明，给出以下几种常用的方法。

一、比较法

用比较法证明不等式，一般分三个步骤：作差（或作商）、变形、判断，变形一般为通分、因式分解、配方等。

例1. 已知a,b,m均为正实数，且a?b，求证：分析：用作差法证明 证明：

?a?mab(a?m)?a(b?m)?? b?mbb(b?m)a?ma? b?mbbm?am(b?a)m?

b(b?m)b(b?m)因为a,b,m?R?,a?b，所以b?a?0,m?0,b?m?0 故

a?ma(b?a)ma?ma? ???0，所以

b?mbb?mbb(b?m)例2. 设a?b?0,求证：aabb?abba 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明：因为a?b?0，所以?1,a?b?0

abaabba 而ba?()a?b?1，故aabb?abba

abb注：作商比较只适用于不等式两边同号时的比较。

二、综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做顺推证法或由因导果法。

例3. a,b,c为互不相等的正数，且abc?1，

求证：???a?b?c 分析：由所证形式联系到基本不等式 证明：因为abc?1，且a,b,c为互不相等的正数 所以???bc?ac?ab?1a1b1cbc?acac?abab?bc?? 2221a1b1c ?bc?ac?ac?ab?ab?bc ?c?abc?a?abc?b?abc?a?b?c 111abc注：利用综合法证明不等式时，注意基本不等式的应用技巧。

则???a?b?c 三、分析法

一般地，从要证明的不等式的结论出发，逐步寻求使此不等式成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。分析法又叫逆推法或执果索因法。

b2?ac?3 例4.若a?b?c，且a?b?c?0，求证：a证明：因为a?b?c，且a?b?c?0，所以a?0,c?0

b2?ac要证?3，即证b2?ac?3a，

a只需证b2?ac?3a2，又b??(a?c)即(a?c)2?ac?3a2，化简得：

2a2?ac?c2?0即(a?c)(2a?c)?0

因a?c?0,2a?c?(a?c)?a?a?b?0，所以上面的不等式成

b2?ac立，则?3成立。

a注：分析法中通过“逆思”探寻证明思路，但要注意分析过程步步可逆。

四、反证法

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。即否定结论?逻辑推理导出矛盾?否定结论错误，则原结论正确。

例5.已知a,b,c为不小于1的正数，求证：a(1?c),b(1?a),c(1?b) 不可能同时大于

分析：假设三个式子都大于，经推理得矛盾，证实结论的否定不成立，则原结论成立。

1(?)c?，b(1?a)?，c(1?b)? 证明：假设三个式子都大于，即a141414141414则有基本不等式得：?a(1?c)?同理得?b(1?a)?1212a?1?c， 2b?1?a1c?1?b，?c(1?b)?， 222111a?1?cb?1?ac?1?b??将上面三式相加，得??? ，

22222233

即?矛盾，故原不等式成立。 22

注：反证法体现了数学中“正难则反”的思想，所推出的矛盾要么与已知条件矛盾，要么与定理、公理矛盾，要么与假设本身矛盾。