内容发布更新时间 : 2024/12/25 10:42:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
浅谈高中数学中不等式的证明
【摘 要】针对不同类型不等式,探讨相应的证明方法,使证明更简洁、
高效.
【关键词】 比较法;综合法;分析法;反证法;三角换元法;放缩法 不等式的证明是高中数学中的一个难点,其涉及面广、题型广泛、证发灵活多变。在高考中,命题方向重在考察逻辑推理能力,如何巧妙、简捷地实现不等式的论证,则需要选择正确的证明方法。下面我就高中数学中不等式的证明,给出以下几种常用的方法。
一、比较法
用比较法证明不等式,一般分三个步骤:作差(或作商)、变形、判断,变形一般为通分、因式分解、配方等。
例1. 已知a,b,m均为正实数,且a?b,求证:分析:用作差法证明 证明:
?a?mab(a?m)?a(b?m)?? b?mbb(b?m)a?ma? b?mbbm?am(b?a)m?
b(b?m)b(b?m)因为a,b,m?R?,a?b,所以b?a?0,m?0,b?m?0 故
a?ma(b?a)ma?ma? ???0,所以
b?mbb?mbb(b?m)例2. 设a?b?0,求证:aabb?abba 分析:对于含有幂指数类的用作商法 证明:因为a?b?0,所以?1,a?b?0
abaabba 而ba?()a?b?1,故aabb?abba
abb注:作商比较只适用于不等式两边同号时的比较。
二、综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理证明,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做顺推证法或由因导果法。
例3. a,b,c为互不相等的正数,且abc?1,
求证:???a?b?c 分析:由所证形式联系到基本不等式 证明:因为abc?1,且a,b,c为互不相等的正数 所以???bc?ac?ab?1a1b1cbc?acac?abab?bc?? 2221a1b1c ?bc?ac?ac?ab?ab?bc ?c?abc?a?abc?b?abc?a?b?c 111abc注:利用综合法证明不等式时,注意基本不等式的应用技巧。
则???a?b?c 三、分析法
一般地,从要证明的不等式的结论出发,逐步寻求使此不等式成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法。分析法又叫逆推法或执果索因法。
b2?ac?3 例4.若a?b?c,且a?b?c?0,求证:a证明:因为a?b?c,且a?b?c?0,所以a?0,c?0
b2?ac要证?3,即证b2?ac?3a,
a只需证b2?ac?3a2,又b??(a?c)即(a?c)2?ac?3a2,化简得:
2a2?ac?c2?0即(a?c)(2a?c)?0
因a?c?0,2a?c?(a?c)?a?a?b?0,所以上面的不等式成
b2?ac立,则?3成立。
a注:分析法中通过“逆思”探寻证明思路,但要注意分析过程步步可逆。
四、反证法
一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。即否定结论?逻辑推理导出矛盾?否定结论错误,则原结论正确。
例5.已知a,b,c为不小于1的正数,求证:a(1?c),b(1?a),c(1?b) 不可能同时大于
分析:假设三个式子都大于,经推理得矛盾,证实结论的否定不成立,则原结论成立。
1(?)c?,b(1?a)?,c(1?b)? 证明:假设三个式子都大于,即a141414141414则有基本不等式得:?a(1?c)?同理得?b(1?a)?1212a?1?c, 2b?1?a1c?1?b,?c(1?b)?, 222111a?1?cb?1?ac?1?b??将上面三式相加,得??? ,
22222233
即?矛盾,故原不等式成立。 22
注:反证法体现了数学中“正难则反”的思想,所推出的矛盾要么与已知条件矛盾,要么与定理、公理矛盾,要么与假设本身矛盾。