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加强练——导数
一、选择题
1.函数f(x)＝aln x＋x在x＝1处取到极值，则a的值为( ) A.－1 C.0
解析 因为f(x)＝aln x＋x， 所以f′(x)＝＋1.
又因为f(x)在x＝1处取到极植， 所以f′(1)＝a＋1＝0?a＝－1. 经检验符合题意.故选A. 答案 A
2.函数y＝xe的单调递减区间是( ) A.(－1，2)
C.(－∞，－2)与(0，＋∞)
2x2x1B.－ 21D. 2
axB.(－∞，－1)与(1，＋∞) D.(－2，0)
2x解析 y′＝(xe)′＝2xe＋xe＝xe(x＋2). 因为e>0，所以由xe(x＋2)<0，得－2 3.已知函数y＝x－ln(1＋x)，则y的极值情况是( ) A.有极小值 C.既有极大值又有极小值 2x（x－1） 解析 y′＝1－≥0， 2＝2 1＋x1＋x所以函数f(x)在定义域R上为增函数， 所以函数f(x)无极值，故选D. 答案 D 2 2 2xxxxxB.有极大值 D.无极值 309教育资源库 www.309edu.com 309教育网 www.309edu.com x2ln|x| 4.(2018·金华十校调研)函数y＝的图象大致是( ) |x| 2 xln|x|（－x）ln|－x|xln|x| 解析 令y＝f(x)＝(x≠0)，所以f(－x)＝＝＝f(x)，即f(x) |x||－x||x| 2 2 1 是偶函数，排除选项B；当x>0时，f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1，令ln x＋1>0，则x>； e1?1??1?令ln x＋1<0，则0 ?2?5.(2018·名校联盟三联)已知x，y∈R，则(x＋y)＋?x－?的最小值为( ) ?y? 2 2 A.1 C.3 2 B.2 D.4 22?2?2 解析 (x＋y)＋?x－?可以看作直线y＝x和曲线y＝－上的点的距离的平方，由y＝－得 ?y? xxy′＝2，令y′＝2＝1得x＝±2，则点(2，－2)和点(－2，2)到直线y＝x的距 xx22 ?|2－（－2）|??2?2 离的平方即为所求的最小值，即(x＋y)＋?x－?的最小值为?22?＝4，故选?y??1＋（－1）? D. 答案 D ??－x＋2x，x≤0，6.已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ) ?ln（x＋1），x>0，? 2 22 A.(－∞，0] C.[－2，1] B.(－∞，1] D.[－2，0] 309教育资源库 www.309edu.com 309教育网 www.309edu.com 解析 作出函数y＝|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝ x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－2. ∴a的取值范围是[－2，0]. 答案 D 7.已知函数f(x)＝ax3 －3x2 ＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( A.(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－1) 解析 a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2 －6x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a. 若a>0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意. 则a<0，由图象结合f(0)＝1>0知，此时必有 f???2a?? ?>0，即a×84 a3－3×a2＋1>0， 化简得a2 >4.又a<0，所以a<－2. 答案 C 8.若函数f(x)＝x－1 3sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( A.[－1，1] B.??? －1，13??? C.???－13，13??? D.??? －1，－13??? 解析 因为f(x)＝x－1 3sin 2x＋asin x， 所以f′(x)＝1－2 3cos 2x＋acos x ＝－4253cosx＋acos x＋3 . 由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立. 令t＝cos x，t∈[－1，1]，则－425 3t＋at＋3≥0， 在t∈[－1，1]上恒成立. 所以4t2 －3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立. 309教育资源库 www.309edu.com ) )