内容发布更新时间 : 2024/5/18 9:40:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第六节 指数与指数函数

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.

[归纳·知识整合]

1．根式 (1)根式的概念：

根式的概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 (2)两个重要公式： a，n为奇数，

?n?①a＝??a?a≥0?，|a|＝?

?－a?a＜0?，??

n怎 么 考 1.主要以选择题或填空题的形式考查指数函数的值域以及指数函数的单调性、图象三个方面的问题，如2012年上海T7. 2.常与其他问题相结合进行综合考查，如与对数的运算、数值的大小比较等相结合. 符号表示 na 备注 n＞1且n∈N* 零的n次方根是零 n±a(a>0) 负数没有偶次方根

n为偶数；

nn②(a)n＝a(注意a必须使a有意义)． n[探究] 1.an＝a成立的条件是什么？

提示：当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.

2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：

n①正分数指数幂：a＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a

?mnmn＝

1

m＝

1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

an③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

＋

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax 图象 定义域 值域 R (0，＋∞) (1)过定点(0,1) 性质 (2)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 (3)在R上是增函数 [探究] 2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？

提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

1?x3．函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|(a>0，a≠1)，y＝??a?之间有何关系？

提示：y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是1?x

一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同；y＝ax与y＝??a?的图象关于y轴对称．

(2)当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 (3)在R上是减函数 a＞1 0＜a＜1 [自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)化简[(－2)]－(－1)0的结果为( ) A．－9 C．9

162162162B．－10 D．7

解析：选D [(－2)]－(－1)0＝(2)－1＝8－1＝7.

3a3b2ab214124

2．化简3b?ab?

a

(a>0，b>0)的结果是( )

bA. aC．a2b

B．ab aD. b

1038312??54ab??32

a3·b3ababa??－1＝. 解析：选D 原式＝＝＝＝ab12727b

2?b?33333ab?a?abab13233．函数f(x)＝2|x1|的图象是( )

－

x－1?2，x≥1，?

解析：选B ∵f(x)＝?1

x－1?????2?，x<1，

∴根据分段函数即可画出函数图象． 4．(教材习题改编)函数y＝

1?x

1－??2?的定义域为________．

1?x

?1?x≤1， 解析：要使函数有意义，需1－?≥0，即?2??2?∴x≥0，即定义域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)

5．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数， 则a2－1＝2，∴a＝±3.又∵a>1，∴a＝3.