内容发布更新时间 : 2024/11/16 0:32:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
分分分方法方法丰富第3课时 三角形中的几何计算
学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．三角形的面积公式
111
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；
222111
(2)S＝absin C＝bcsin_A＝casin_B；
2221
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
2
思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？
[提示] (1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．
2．三角形中常用的结论 (1)A＋B＝π－C，
A＋Bπ
2＝－； 22
C(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式
sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，
?π?tan(A＋B)＝－tan_C?C≠?，
2??
sin cos
A＋BA＋B＝cos ，
22＝sin . 22
[基础自测]
CC1．思考辨析
1
(1)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积．( )
2(2)三角形中已知三边无法求其面积．( )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√
提示：已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错．
- 1 -
分分分方法方法丰富2．下列说法中正确的是________(填序号)．
(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r； (2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则A＝60°；
(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6； (4)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B.
【导学号：91432075】
1
(3) [(1)中三角形的面积S＝(a＋b＋c)r.
2
13
(2)由S＝bcsin A可得sin A＝，∴A＝60°或120°.
22π
(4)在△ABC中由sin 2A＝sin 2B得A＝B或A＋B＝.]
2
3．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积________．
ab1
93 [由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由＝知b＝6，∴S＝absin C＝
sin Asin B2
18×3
＝93.] 2
4．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝153，△ABC的外接圆半径为3，则边c的长为________.
【导学号：91432076】
13
3 [由题知S△ABC＝absin C＝153得sin C＝. 22
c3
又由＝2R得c＝23×＝3.]
sin C2
[合 作 探 究·攻 重 难]
三角形面积的计算
π4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝3.
35(1)求sin C的值； (2)求△ABC的面积．
[解] (1)∵角A，B，C为△ABC的内角， π4
且B＝，cos A＝，
352π3∴C＝－A，sin A＝.
35
- 2 -
分分分方法方法丰富∴sin C＝sin?
?2π－A?＝3cos A＋1sin A＝3＋43.
?2
210?3?
33＋43
(2)由(1)知sin A＝，sin C＝. 510π
又∵B＝，b＝3，
3
∴在△ABC中，由正弦定理得a＝
bsin A6
＝. sin B5
1163＋4336＋93
∴△ABC的面积S＝absin C＝××3×＝.
2251050[规律方法] 1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式． 2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． [跟踪训练] 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b＋c－a＝8，求△ABC的面积．
[解] 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，1b＋c－a83222
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b＋c－a＝8，cos A＝，所以bc＝，所
22bc31183123
以S△ABC＝bcsin A＝××＝.
22323
三角恒等式证明问题
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
2
2
2
2
2
2
a2－b2
证明：2＝cA－B. sin C思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开． [证明] 法一：(边化角)由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a－b＝b－a－2bccos A＋2accos B，
2
2
2
2
a2－b2acos B－bcos A整理得：2＝.
cc - 3 -