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全国高中数学联合竞赛一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

5?4x?x21．函数f(x)?在(??,2)上的最小值是 （ C ）

2?xA．0 B．1 C．2 D．3

1?(4?4x?x2)11[解] 当x?2时，2?x?0，因此f(x)??(2?x) ??(2?x)?2?2?x2?x2?x ?2，当且仅当1?2?x时上式取等号．而此方程有解x?1?(??,2)，因此f(x)在(??,2)上的最小值为2．

2?x2．设A?[?2,4)，B?{xx2?ax?4?0}，若B?A，则实数a的取值范围为 （ D ）

A．[?1,2) B．[?1,2] C．[0,3] D．[0,3) [解] 因x?ax?4?0有两个实根

2aa2x1??4?242aa，x2??4?， 2422aaaa故B?A等价于x1??2且x2?4，即?4???2且?4??4，解之得0?a?3．

24243．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设

甲在每局中获胜的概率为

21，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数?的期

33望E?为 ... （ B ）

241670266274 . B. . C. . . D. 812438181[解法一] 依题意知，?的所有可能值为2，4，6设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 215()2?()2?． 339A.

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有

45204165，....P(??6)?()2?， P(??2)?，....P(??4)?()()?9981981952016266故E??2??4?． ?6??9818181[解法二] 依题意知，?的所有可能值为2，4，6.

令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则Ak表示乙在第k局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为

（ A ）

A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 . C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3 [解] 设这三个正方体的棱长分别为a,b,c，则有

222225， 9P(??4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4) 211220， ?2[()3()?()3()]?333381P(??6)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4) 211652016266． ?4()2()2?， 故E??2??4??6??33819818181P(??2)?P(A1A2)?P(A1A2)?6?a2?b2?c2??564，a2?b2?c2?94，不妨设

1?a?b?c?10，从而3c?a?b?c?94，c?31．故6?c?10．c只能取9，8，7，6．

222若c?9，则a?b?94?9?13，易知a?2，b?3，得一组解(a,b,c)?(2,3,9)．

若c?8，则a?b?94?64?30，b?5．但2b222?30，b?4，从而b?4或5．若b?5，则a2?5无

解，若b?4，则a22?14无解．此时无解．

2若c?7，则a2?b2?94?49?45，有唯一解a?3，b?6． 若c?6，则a?b?94?36?58，此时2b此时a2故b?6，但b?c?6，故b?6，?a2?b2?58，b2?29．

?58?36?22无解．

?a?2,?a?3,??综上，共有两组解?b?3,或?b?6,

?c?9?c?7.??体积为V12?23?33?93?764cm3或V2?33?63?73?586cm3．

?x?y?z?0,5．方程组?的有理数解(x,y,z)的个数为 （ B ） ?xyz?z?0,?xy?yz?xz?y?0?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解] 若z?0，则??x?y?0，?x?0，?x??1，解得?或? ?xy?y?0.?y?0?y?1.若z?0，则由xyz?z?0得xy??1． ① 由x?y?z?0得z??x?y． ②

将②代入xy?yz?xz?y?0得x2?y2?xy?y?0． ③

1由①得x??，代入③化简得(y?1)(y3?y?1)?0.

y易知y3?y?1?0无有理数根，故y?1，由①得x??1，由②得z?0，与z?0矛盾，故该方程组共有两组

?x?0,?x??1,?有理数解??y?0,或?y?1,

?z?0?z?0.??6．设?ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则

sinAcotC?cosA的取值范围是（ C ）

sinBcotC?cosB5?1) 25?15?15?1C. (,) D. (,??)

222[解] 设a,b,c的公比为q，则b?aq,c?aq2，而

sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC ?sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinCsin(A?C)sin(??B)sinBb?????q． sin(B?C)sin(??A)sinAaA.

(0,??) B. (0,因此，只需求q的取值范围．

因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需a?b?c且

b?c?a．即有不等式组

?1????a?aq?aq,??q?q?1?0,?2即?解得??22??aq?aq?a??q?q?1?0.?q???5?15?1?q?从而，因此所求的取值范围是(22225?q?5?1,25?15?1或q??.225?15?1,)． 22

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

其中a,b为实数，f1(x)?f(x)，fn?1(x)?f(fn(x))，f(x)?ax?b，n?1,2,3,则a?b? . 5 .

[解] 由题意知fn(x)?anx?(an?1?an?2??a?1)b 7．设

n，若f7(x)?128x381?，

an?1?ax??b，

a?1a7?17由f7(x)?128x?381得a?128，?b?381，因此a?2，b?3，a?b?5．

a?118．设f(x)?cos2x?2a(1?cosx)的最小值为?，则a??2?3．

22[解] f(x)?2cosx?1?2a?2acosx

a1?2(cosx?)2?a2?2a?1，

22(1) a?2时，f(x)当cosx?1时取最小值1?4a； (2) a??2时，f(x)当cosx??1时取最小值1；

a1(3) ?2?a?2时，f(x)当cosx?时取最小值?a2?2a?1．

221又a?2或a??2时，f(x)的最小值不能为?，

211故?a2?2a?1??，解得a??2?3，a??2?3(舍去)．

229．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有. 222..种． [解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用?表示名额．如

|????|??|??|

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．

若把每个“?”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24?2?26个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“?”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有C2种． 23?253又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

[解法二].设分配给3个学校的名额数分别为x1,x2,x3，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

x1?x2?x3?24．

的正整数解的个数，即方程x1?x2?x3?21的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：

212． H3?C2123?C23?253又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn[解] an?1?Sn?1?Sn??an?n?1，n?1,2,n(n?1)，则通项an=

11． ?2nn(n?1)nn?1?an?1??an，

(n?1)(n?2)n(n?1)n?2?211即 2an?1????an

(n?1)(n?2)n?1n(n?1)?21=， ?an?(n?1)(n?2)n(n?1)11由此得 2(an?1?． )?an?(n?1)(n?2)n(n?1)111令bn?an?，b1?a1?? (a1?0)，

22n(n?1)有bn?1?1111，故，所以． b?a??bnnnnn2n(n?1)22答12图1