内容发布更新时间 : 2024/6/29 13:39:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题6.4 等差、等比数列与数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

知识点一 求数列的前n项和的方法 (1)公式法

①等差数列的前n项和公式

n（a1＋an）n（n－1）Sn＝＝na1＋d．

2 2②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；

a1（1－qn）a1－anq

(ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.

1－q 1－q (2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．

(6)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 知识点二 常见的裂项公式 111

(1)＝－. n（n＋1）nn＋1

1?11?1－(2)＝.

（2n－1）（2n＋1）2?2n－12n＋1?(3)

1n＋n＋1

考点一 分组转化求和 【典例1】(2019·天津高考)设

＝n＋1－n.

?an?是等差数列，?bn?是等比数列.已知

.

a1?4,b1?6，b2?2a2?2,b3?2a3?4（Ⅰ）求

?an?和?bn?的通项公式；

?1,2k?n?2k?1,c1?1,cn??*cn?bk,n?2k,??（Ⅱ）设数列满足其中k?N.

（i）求数列

2n?a?c2n2n?1??的通项公式；

. ；

（ii）求

?ac?n?N?*iii?1【答案】（Ⅰ）

2n*an?3n?12n?1bn?3?2n（Ⅱ）（i）

a2n?c2n?1??9?4n?1（ii）

?ac?n?N??27?2iii?1?5?2n?1?n?12?n?N?*

【解析】 (Ⅰ)设等差数列

?an?的公差为d，等比数列?bn?的公比为q.

??6q?2?4?d??2?6?2d?d?3?2?6q?2?4?2d??4?12?4d?q?2， ?依题意得，解得?故

an?4?(n?1)?3?3n?1，

bn?6?2n?1?3?2n.

an?bn?3?2nan?3n?1?bn??所以，的通项公式为，的通项公式为.

(Ⅱ)(i)

a2n?c2n?1??a2n?bn?1???3?2n?1??3?2n?1??9?4n?12n2n.

a?c?所以，数列

2n2nii?1??的通项公式为a?c2n2n?1??9?4n?1.

(ii)

?ac????a?a?c?1?????a??a?ciiiii?1i?1i?1i?12i2n2n2i?1?

nn?22?1??n?ni??2?4??3??9?4?1?????2??i?1

??3?22n?1?5?2n?1??9?4?1?4n?1?4?n

*?27?22n?1?5?2n?1?n?12?n?N?.

【方法技巧】分组法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组法求{an}的前n项和．

?bn，n为奇数，?(2)通项公式为an＝?的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比或等差数列，可采用分组法求

?c，n为偶数?n

和．

【变式1】 (河南省焦作一中2019届模拟)已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列．

(1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】(1)设{an}的公差为d， 因为a2＝3，{an}前4项的和为16， a＋d＝3，???1?a1＝1，

所以?解得? 4×3

?d＝2，4a＋d＝16，?1?2?

所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 设{bn－an}的公比为q， 则b4－a4＝(b1－a1)q3， 因为b1＝4，b4＝88， b4－a488－7

所以q3＝＝＝27，

b1－a14－1解得q＝3，

所以bn－an＝(4－1)×3n1＝3n. (2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，

所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1) 3（1－3n）n（1＋2n－1）＝＋

21－33

＝(3n－1)＋n2 2

－