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南华大学高数练习册

第一节 微分方程的基本概念 1.填空题

242 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? 根据题意? 反映制动阶段列车运动规律的函数s?s(t)应满足关系式

d2s??0.4? (5) 2(1) 微分方程xy'''?(y')?y?0的阶是 3 dt此外? 未知函数s?s(t)还应满足下列条件?

(2) 若y?(Ax?B)ex是微分方程y''?2y'?xex的一个特解，则

t?0时? s?0? v?dsdt?20? A??1 ，B? 3

把(5)式两端积分一次? 得

2．写出下列问题所确定的微分方程

v?ds(1)已知曲线y?f(x)过点(1,1)，其上任意一点(x,y)处的切线的斜率为

dt??0.4t?C1? 再积分一次? 得

x2lnx，求f(x)满足的微分方程.

s??0?2t2 ?C1t ?C2? ??这里C1? C2都是任意常数? ?y'?xlnx把条件t?0，v?20代入(7)得

?y(1)?1(2000题531) 20?C1?

（2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.

把条件t?0，s?0代入(8)得

0?C2?

把C1? C2的值代入(7)及(8)式得

y'?x2x2?y2?y(2000题531)

v??0?4t ?20? (3) 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶? 当制动时 s??0?2t2?20t? 在(9)式中令v?0? 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

列车获得加速度?0?4m/s2

? 问开始制动后多少时间列车才能停住? 以及列

车在这段时间里行驶了多少路程?

1

(6)

(7)

(8) (9) (10)

t?200.4?50(s)? 再把t?50代入(10)? 得到列车在制动阶段行驶的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

第二节 可分离变量方程 1. 填空题

（1）微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解是y? . 【答案】 应填y?

1

x

． 【详解】由

dydx??yx，得dyy??dxx．两边积分，得ln|y|??ln|x|?C．代入条件y(1)?1，得C?0．所以y?

1

x

． (1) 微分方程 y'?ex?2y的通解为2ex?e?2y?C

(3) 微分方程y??y(1?x)的通解是y?Cxe?xx(x?0).

【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为

dy?1?y???x?1??dx，

两边积分得 lny?lnx?x?C1，整理得

y?Ce?xx.（C?eC1）

2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)tanydx?sinxdy?0

解 分离变量得

cosydydxsiny?sinx

两边积分得 ln|siny|?ln|tanx2|?C' 故原方程的通解为 siny?CtanxC'2(C??e)

(2)(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0 解 两边除以 ex?y，并分离变量得

?eydyey?1?exdxex?1 两边分别积分得方程的通解为 (ex?1)(ey?1)?C(3)x2ydx?(1?y2?x2y2?x2)dy 分离变量得

2

x21?y2dx?dy 221?xy两边分别积分得微分方程的通解为

2.求解下列微分方程 (1)y'?yy?tan xxy2x?arctanx?lny??C

2(4)y?xy'?a(y2?y') 分离变量可得

dudx? tanux两边积分得 sinu?Cx

y原方程的通解为 sin?Cx

x解 令 y?ux，则有

(2)(3x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0

eydx ?2a?xy?ayy|?ln(a?x)?lnC，即有 ay?1两边积分求得的通解为 ln|yy()2?2?3x解 方程可化为 y'?x y1?2xdu3(u2?u?1)?令 y?ux，则有 ?x dx2u?1分离变量解之得 u?u?1?Cx2?3y?C(a?x). ay?1第三节 齐 次 方 程

1.填空题

(1) 微分方程(x?y)dy?ydx?0的通解是y?Ce

xy

原方程的通解为 y2x?yx2?x3?C (3)y'??y2 (2)已知函数y(x)满足微分方程xy'?yln,且在x?1时,y?e,则

xx??1时， y? ?1 4x?3y

x?ydu(u?2)2??解 另y?ux，则有u dxu?1 3