内容发布更新时间 : 2024/11/17 15:57:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
少卿足下：曩者辱赐书，教以慎于接物，推贤进士为务，意气勤勤恳恳。若望仆不相师，而用流俗人之言，仆非敢如此也。仆虽罢驽，亦尝侧闻长者之遗风矣。顾自以为身残处秽，动而见尤，欲益反损，是以独郁悒而无谁语。谚曰：“谁为为之？孰令听之？”盖钟子期死，伯牙终身不复鼓琴。1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
一、三维目标 1.知识与技能
(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题． (2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题． 2．过程与方法
通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质． 3．情感、态度与价值观
通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识． 二、重点、难点
重点：二项式系数的性质． 难点：杨辉三角的结构．
教学时从先简单(a＋b)，(a＋b)，(a＋b)的展开式中系数出发，进一步过渡到杨辉三角的结构，让学生由浅入深地认识杨辉三角，从而化解难点．
引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，通过例题与练习让学生应用性质解决问题，更深地理解性质，以强化重点、化解难点．
三、教学建议
本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，教学时应采用启发探究式教学，让学生在观察中归纳总结二项式系数的性质，在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，可以画出它的图象，利用几何直观，数形结合地进行思考，这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处．
四、教学流程
创设问题情境，提出问题．?引导学生回答所提问题，认识杨辉三角、理解二项式系数性质．?通过例1及互动探究，进一步认识杨辉三角的结构特点．?通过例2及变式训练，使学生掌握展开式系数和的求法．?通过例3及变式训练，使学生掌握二项式系数的综合应用．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．
1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律． 课标解读 2.掌握二项式系数的性质及其应用． 3.掌握“赋值法”并会灵活运用. 1
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【问题导思】 “杨辉三角”与二项式系数的性质 少卿足下：曩者辱赐书，教以慎于接物，推贤进士为务，意气勤勤恳恳。若望仆不相师，而用流俗人之言，仆非敢如此也。仆虽罢驽，亦尝侧闻长者之遗风矣。顾自以为身残处秽，动而见尤，欲益反损，是以独郁悒而无谁语。谚曰：“谁为为之？孰令听之？”盖钟子期死，伯牙终身不复鼓琴。(1)观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？
第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？ 第4行中3与第2行各数之间什么关系？ 第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
【提示】 (1)①22222，第n行各数之和为2
0,1,2,3,4
n－1
.
②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设Cn＋1表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为Cn，Cn，所以Cn＋1＝Cn＋Cn.
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cn＋1＝Cn＋Cn. 2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn＝Cn，Cn＝Cn，…，Cn＝Cn.
(2)增减性与最大值：当k＜
n－1
rn－rn0
rr－1rrr－1rrr－1rn1
n＋1
2
时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两
2项的二项式系数Cnn－1
2
n，C
n＋1
2
n相等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和 (1)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.
0
1
2
nn(2)Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2
024135n－1
.
与杨辉三角有关的问题
少卿足下：曩者辱赐书，教以慎于接物，推贤进士为务，意气勤勤恳恳。若望仆不相师，而用流俗人之言，仆非敢如此也。仆虽罢驽，亦尝侧闻长者之遗风矣。顾自以为身残处秽，动而见尤，欲益反损，是以独郁悒而无谁语。谚曰：“谁为为之？孰令听之？”盖钟子期死，伯牙终身不复鼓琴。
图1－3－1
例1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．
【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．
【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得：
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C2＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C9＋C9) ＝(C2＋C3＋C4＋…＋C9)＋(2＋3＋…＋9) ＝C10＋＝164.
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论． 本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？
【解】 S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66 ＝(C2＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C11＋C11)＋C12 ＝(C2＋C3＋C4＋……C12)＋(2＋3＋…＋11) ＝C13＋
32
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
32
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
＋2
＋2
＝286＋65 ＝351. 设(1－2x)
2 012
＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2 012·x22 012
(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值． (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．