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2019-2020年高三数学二轮复习 专题辅导（2）分类讨论精品教学案

【考情分析】

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。

分类讨论是每年高考必考的内容，预测2013年高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由Sn求an等。 【知识归纳】

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1．分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有，圆锥曲线的统一定义中图形的分类等；

（3）由实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论； （4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。

2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究；

3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；

4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是

分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；

5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；

6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。 【考点例析】

题型1：集合中分类讨论问题

例1．（2012高考真题全国卷理2）已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AA 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 解析：B；因为A?B?A,所以B?A,所以m?3或m?满足A?B?A.若m?B＝A, 则m=（ ）

m.若m?3，则A?{1,3,3},B?{1,3},

m，解得m?0或m?1.若m?0，则A?{1,3,0},B?{1,3,0}，满足A?B?A.

若m?1，A?{1,3,1},B?{1,1}显然不成立，综上m?0或m?3，选B.

点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。

例2．（2012高考真题新课标理1）已知集合A?{1,2,3,4,5},B?{(x,y)x?A,y?A,x?y?A}；则B中所含元素的个数为（ ）

(A)3 (B)6 (C)? (D)??

解析：D；要使x?y?A,当x?5时，y可是1，2，3，4.当x?4时，y可是1，2，3.当x?3时，

y可是1，2.当x?2时，y可是1，综上共有10个，选D.

点评：把握含参数问题参数的分类标准最为关键，像三角形的分类带来的参数标准的分类是解题的关键。

题型2：函数、方程中分类讨论问题

例3．（2012高考真题四川理5）函数y?ax?1(a?0,a?1)的图象可能是（ ） a

解析：D；当a?1时单调递增，?确；当0?a?1时单调递减，?11?0，故A不正确；因为y?ax?恒不过点(1,1)，所以B不正aa1?0，故C不正确 ；D正确. a点评：含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。

例4．（2012高考真题安徽理19）设f(x)?ae?（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；

（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?xx1?b(a?0)。 aex3x；求a,b的值。 211a2t2?1?b?y??a?2?解析：（I）设t?e(t?1)；则y?at?， 2atatat1?b在t?1上是增函数， at1得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b。

a1②当0?a?1时，y?at??b?2?b，

at1x当且仅当at?1(t?e?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2。

a11xx（II）f(x)?ae?x?b?f?(x)?ae?x，

aeae①当a?1时，y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2??由题意得：?。 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?点评：本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代

数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。 题型3：解析几何中的分类讨论问题

x2y2??1?x,y??x,y?l32例5．（2011山东理22）（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P11、Q226S两不同点，且△OPQ的面积?OPQ=2,其中O为坐标原点.