内容发布更新时间 : 2024/12/31 4:16:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二十二章 二次函数

一、二次函数的有关概念： 1、二次函数的定义：

2b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。一般地，形如y?ax?bx?c（a，

2、二次函数解析式的表示方法

2y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）（1） 一般式：； 2y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）（2） 顶点式：；

（3）两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

2y?ax?bx?c图象的画法 二、二次函数

1.基本方法：描点法

2y?ax?bx?c化为顶点式注：五点绘图法。利用配方法将二次函数

y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左

右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及

?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有

交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

2.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

三、二次函数的图像和性质

2y?ax?bx?c的性质 1.二次函数

（1）. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为

?b4ac?b2???，?2a4a??．

x??b2a，顶点坐标为

当

x??bbx??2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y随x的增大而增大；

4ac?b2bx??2a时，y有最小值4a． 当

（2）. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为

x??b2a，顶点坐标为

?b4ac?b2???，?2a4a??．

当

x??bbx??2a时，y随x的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；

4ac?b2bx??2a时，y有最大值4a． 当

2.二次函数

a的y?a?x?h??k2 的性质：

性质 x?h时，y随x的增大而增大；符号 开顶点对口方向 坐标 称轴 a?0 向上 ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；a?0 向下 ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k．

四、二次函数图象的平移

概括成八个字“左加右减，上加下减”． 五、二次函数与一元二次方程：

22一元二次方程ax?bx?c?0是二次函数y?ax?bx?c当函数值y?0时的特

殊情况.

图象与x轴的交点个数：

2Ax，0，Bx，0① 当??b?4ac?0时，图象与x轴交于两点?1??2?(x1?x2)，其

2ax?bx?c?0?a?0?x，x中的12是一元二次方程的两根．这两点间的距离

b2?4acAB?x2?x1?a.

② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

六、二次函数中的符号问题 1. 二次项系数a

a决定了抛物线开口大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的

大小．

2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在a?0的前提下，

b?0b?02a当时，，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

?b?0b?02a当时，，即抛物线的对称轴就是y轴；

?b?0b?02a当时，，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

?⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b?0b?02a当时，，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

?b?0b?02a当时，，即抛物线的对称轴就是y轴；

?b?0b?02a当时，，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

?总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：“左同右异” 3. 常数项c

⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 七、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．