内容发布更新时间 : 2025/1/24 9:41:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4章 线性方程组的直接解法

本章主要内容

线性方程组的直接解法——消元法（高斯消元法、主元消元法）. 矩阵的三角分解法（ Doolittle分解、Crout分解、 LDU分解） 紧凑格式 改进平方根法.

本章重点、难点

一、消元法（高斯消元法、列主元消元法）

本章求解的是n阶线性方程组Ax=b的（即方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组）

?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1???a21x1?a22x2?????a2nx3?b2 ?

???????????????????an1x1?an2x2?????annxn?bn 1. 高斯消元法

①高斯消元法的基本思想：通过对线性方程组Ax=b的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的解。 ②高斯消元法计算公式：

消元公式：??a(0)?a,b(0)?b(i,j?1,2,...,n)ijii,?ij??对k?1,2,...,n?(k?1) aik?(k)(k?1)(k?1),?aij?aij?(k?1)akjakk??(k?1)aik?(k)(k?1)(k?1)b?b?b,iik(k?1)?akk???i,j?k?1,...,n回代公式：(n?1)?bn1)?xn?(n?1)(i?n?1,n?2,...,ann??n(i?1)(i?1)?bi??aijxj??j?i?1?xi?(i?1)aii??1)?(i?n?1,n?2,...,????

1

利用高斯消元法进行消元时，消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶

(k?1)(k?1)顺序主子式不为零。或要求akk?0（k=1，..，n）,则消元?0(k?1,?,n)，若akk(k?1)法过程无法进行；若虽然akk?0，但很小，用它作除数，会引起很大的误差。所以为了

减小舍入误差、提高数值计算的稳定性，通常采用选主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法）。

2. 主元消元法

①列主元消元法的计算步骤： 在进行第k（k=1,2,…,n-1）步消元时，首先在第k列下面的n-k+1个元素中选取绝对值最大的元素apk(k?1)k?1)(k?1),即a(pk?maxaik作为列主元素，然

k?i后将列主元所在方程与第k个方程交换位置，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。 ②全主元消元法的计算步骤： 在进行第k（k=1,2,…,n-1）步消元时， 首先在第k行至第n行和第k列至第n列的（n-k+1）个元素中选取绝对值最大的元素

k?1)k?1)(k?1)a(pq,即a(pq?maxaij作为全主元素，然后将全主元所在行与第k行交换，将全主元

k?i,j2

所在列与第k列交换，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。

例1 用高斯消元法、列主元消元法解线性方程组

?x1?x2?2x3??2?? ??2x1?x2?x3?2

???4x1?x2?2x3??1

解 1. 高斯消元法 用矩阵的初等行变换法求解

① 消元

?1?12?2??1?12?2??1?12?2????0?13?2???0?13?2?

?A?b????21?12?????????????1??4?12??03?67???0031??得同解上三角方程组为 ：

2

?x1?x2?2x3??2??x2?3x3??2 ??3x?1?3

② 回代，得：

??x13??3 ??x1?2?2?3?3?3

???x111??2?3?2?3?3方程组的解为：

??x11?3 ??x2?3

???x13?3 2.列主元消元法

① 消元

?1?12?2??12?1??4?A?b?????21?12??4???21?12?????0?2????4?11?????1?12?2??????0?4?12?1????4?12?1???????0?0.751.5?1.75??????0.751.5?1.75?00.501.5???0???0011??3?????4x1?x2?2x3??1得同解上三角方程组为 ：???0.75x2?1.5x3??1.75

???1?x3?3 3

?120.50?0.751.5?1?1.5??1.75???