内容发布更新时间 : 2024/5/17 21:55:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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平面向量数量积的物理背景及其含义

学科：数学 班级：高一7班 教师：江薇

研究方向：在学生自学的基础上，提高课堂学习的效率 教学目标：

1、知识与能力：掌握数量积的定义，性质、运算律。

2、过程与方法：遵循数量积的知识的拓展过程进行教学，是学生能更深刻的体会到知识的发展与变化。

3、情感、态度、价值观：在整个学校过程中体会知识的发展变化，同时也伴随着思维的变化，感受变化，产生对学习的兴趣，体会数学的价值。 教学重点：平面向量的数量积定义，性质

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学过程：

问题1：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

我们说生活中存在既有方向，又有大小的量，比如物理中的力，力的合成又给了我们启示，归纳得出向量和的平行四边形法则，所以数学是源自于生活的，数学又是从生活中抽象出来的，因此数学又是高于生活的。

问题2：生活中还有这样一种情况：

F 如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S ，（１）力F所做的功W= 。

?S

把式子写成W?Fcos?S，它的意义就看的更清楚了，表示力F在运动方向上的分

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力Fcos?在运动方向上的做功。abcos?

（２） 请同学们分析这个公式的特点？

W（功）是 量，F（力）是 量， S（位移）是 量， θ是 。 两个矢量参与的运算，结果却是标量，这就是我们今天要学习的向量的一个新运算的一个模型，这个新的运算就是向量的数量积。

定义：两个非零向量，a ，b，我们把数量abcos?叫作a ，b的数量积（或内积），记作a?b，即a?b?abcos?，其中?是a ，b的夹角。

投影：acos?（bcos?）叫作向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。 说明：1、数量积的名称已经很体现这个运算的特点：是数量的积，结果是数量，两个向量的运算结果是数量。其次“=”左边的格式只能写成a?b的形式，不能省略，也不能用“?”，这与实数中的乘法运算略有不同。

向量的夹角的范围在?0,180?的闭区间。

问题3、如图，按照定义你能分别作出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影

问题4：投影是向量还是数量，投影一定是正数的吗？它的符号受谁的影响，有几种情况？ 当0°≤θ＜90°时，它为正值； 当θ=90°时，它为0；

当90°＜θ≤180°时，它为负值．

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos?的乘积。

向量数量积的特殊性质：

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既然向量的数量积是关于两个向量的运算，所以我们会考虑一些特殊的向量的数量积有怎样的结果：

1、规定：0?a=0

2、非零向量数量积的性质：

a⊥b?a?b=0

当a与b同向时，a?b=ab；当a与b反向时a?b=-ab；特别的a?a=a=a或

22a=a?a?a a?b?ab

2cos??a?bab 3、判断题：

（1）0?a?0 （4）a与b是两个单位向量，则a=b （2）0 ?a=0 （5）若a?0，且a?b?0，则b=0 （3）a?b222??2?a?b （6）若a?b=b?c，则a=c

22（7）a?b?0,则a?b?0 3、数量积满足的运算律：

问题5：向量的数量积是一种乘法运算，所以与数量的乘法对比，它会满足哪些运算律呢？ （1）a?b=b?a

（2）（?a）=?a?b=a?(?b) （3）（a?b）?c=a?c+b?c 证明：a?b2??2??2?a?2ab?b

2 （a?b）?a?b?a?b

此例不做讲解，学生在预习过程中能够解决，所以直接将结果作为结论利用。

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