内容发布更新时间 : 2025/4/2 14:36:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

题目：第三章数列等差数列与等比数列的性质及其应用 高考要求：

(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 (3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题。 知识要点：

1.一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=?S1(n?1)

S?S(n?2)n?1?n?2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首

项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3.等差数列的前n项和公式：Sn=na1?Sn=nan?n(a1?an)n(n?1)d Sn= 22n(n?1)d 2当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式

4.等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=5．等差中项公式：A=

S2n?1 2n?1a?b （有唯一的值） 26．等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 7．等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

a?anqa1(1?qn)当q≠1时，Sn= Sn=1

1?q1?q8．等比中项公式：G=?ab （ab>0，有两个值）

9．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m

- S3m、……仍为等差数列。

10．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am?an?ap?aq 11．等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am?an?ap?aq

12.等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）。

13．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 14．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、??an??1??、???bn??bn?仍为等比数列。

15．等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 16．等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 17．三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 18．三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (因为其公比为q2>0,对于公比为负的情况不能包括) 19．{an}为等差数列，则c?? (c>0)是等比数列。

an20．{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c?1) 是等差数列。 题型讲解：

例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d≠0)

根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d), 解得 a1??1d 21?d?2daa?2d所以q?3?1?2?3.

1a2a1?d?d?d2例2.在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q

解：∵{an}为等比数列 ∴a1·an=a2·an-1 由a1·an=128 ， a1+an=66 且 a1最小 得a1=2 ，an=64

a?aq2?64qSn?126,?1n?126,即?126

1?q1?q解得q?2

2?qn?1?64,?2n?6,

解得n=6,∴n=6,q=2

例3.(1)等比数列{an}中，q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99;

(2)等差数列{an}中，a9+a10=a，a19+a20=b，求a99+a100;

(3)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d.

解：（1）∵S99=(a1+a4+…+a97)+(a2+a5+…+a98)+(a3+a6+…+a99)

?(11??1)?(a3?a6???a99) q2q4?77?44 7?a3?a6???a99? （2）将相邻两项和a1+a2，a3+a4，a4+a5，…，a99+a100分别记为b1，b2，b3，…，b50，可知{bn}成等差数列，此数列的公差d?a99+a100=b50=b5+45d=a?b10?b5b?a?

10?55b?a?45?9b?8a 5 （3）前12项中偶数项与奇数项和为S偶、S奇，

?S奇?S偶?354?S?192?32，??偶 依题意得?S偶 ?S?162?奇?S奇27?由S偶-S奇=6d，∴d=5 小结：

1 等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量: a1,d(或q),n,an,Sn“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法 2列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段

3解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用