内容发布更新时间 : 2025/1/7 16:33:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
压轴大题突破练
压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)
1.在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M. (1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)过(1)中轨迹E上的点P(1，2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点.试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解 (1)依题意，得|MA|＝|MB|.
∴动点M的轨迹E是以A(1，0)为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线， ∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.
(2)∵P(1，2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，
2??y1＝4x1， ①∴?2 ?y＝4x， ②?22
由①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)， y1－y24∴直线CD的斜率为kCD＝＝.
x1－x2y1＋y2设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k， 则直线PC方程为y－2＝k(x－1)，
2??y＝4x，由?得ky2－4y－4k＋8＝0. ?y＝kx－k＋2，?
③
44
由2＋y1＝，求得y1＝－2，
kk4
同理可求得y2＝－－2.
k
44
∴kCD＝＝＝－1，
4y1＋y24
?－2?＋?－－2?kk∴直线CD的斜率为定值－1 .
x2y2
2.如图所示，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，
ab且椭圆的离心率e＝
3. 2
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(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN. (1)解 依题意，得b＝1.
c3
因为e＝＝，又a2－c2＝b2，所以a2＝4.
a2x22
所以椭圆的标准方程为＋y＝1.
4
(2)证明 设点P的坐标为(x0，y0)，x0≠0，
x20
因为P是椭圆上异于A，B的任意一点，所以＋y20＝1. 4因为PQ⊥y轴，Q为垂足，所以点Q坐标为(0，y0). x0?因为M为线段PQ的中点，所以M??2，y0?.
2?y0－1?又点A的坐标为(0，1)，可得直线AM的方程为y＝x＋1.
x0x0
因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得C?1－y，－1?.
?
0
?
因为点B的坐标为(0，－1)，点N为线段BC的中点， x0
所以N?2?1－y?，－1?.
??0
x0x0→
所以向量NM＝?2－2?1－y?，y0＋1?.
??0x0→
，y0?， 又OM＝??2?
→→x0?x0－x0?所以OM·NM＝22?1－y?＋y0(y0＋1)
2?0?
2
x0x20＝－＋y2＋y 44?1－y0?00
x02?x0＋y0－＝??4?4?1－y0?＋y0
2
2
＝1－(1＋y0)＋y0＝0. 所以OM⊥MN.
x2y22
3.椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.设动直线l：y＝kx＋
ab2
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m与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PF1F2的周长为2(2＋1). (1)求椭圆E的方程；
(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积； (3)求证：以PN为直径的圆恒过点F2. (1)解 设F1(－c，0)，F2(c，0)，
c2??＝，则?a2解得a＝2，c＝1. ??2a＋2c＝2?2＋1?，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆
2
x22
E的方程为＋y＝1.
2
x??2＋y2＝1，
(2)解 由??(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.
??y＝kx＋m设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)， 则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，
|－k＋m||k＋m|
焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1＝2，d2＝2，
k＋1k＋1m2－k2k2＋1
则d1·d2＝2＝＝1.
k＋1k2＋12km2k
(3)证明 ∵x0＝－＝－，
m1＋2k2
m2－2k212k2
∴y0＝kx0＋m＝－＋m＝＝，
mmm2k1
∴P(－，).
mm
又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2，2k＋m)， 2k1→→
PF2＝(1＋，－)，F2N＝(1，2k＋m).
mm2k1→→
∴PF2·F2N＝(1＋，－)·(1，2k＋m)
mm2k1
＝1＋－(2k＋m)
mm2k2k
＝1＋－－1＝0.
mm→→∴PF2⊥F2N，
∴以PN为直径的圆恒过点F2.
x2y22
4.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2，0)的直线l与椭圆C
ab2
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