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2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为

sin?x(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

2（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)是等价无穷小，则

11. （B）a?1，b?. 6611(C)a??1，b??. （D）a??1，b?.

66xsint（3）使不等式?dt?lnx成立的x的范围是

1t(A)a?1，b??(A)(0,1).

(B)(1,?). (C)(,?).

22?(D)(?,??).

（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

f(x) 1 O -1 x-2 则函数F?x??1 2 3 x

?f?t?dt的图形为

0f(x)1 O -1 f(x)1 -2 (A)

1 2 3 x (B)

-2 -1 O 1 2 3 x

- 1 -

f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)

x

?*-2 (D)

-1 O 1 2 3 x

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3，则分块矩

?OA?阵??的伴随矩阵为

BO???O3B*?(A)?*?.

O??2A?O3A*?(C)?* ?.

2BO??

?O (B)?*?3A?O (D)?*?3B2B*??. O?2A*??. O?

?100???T（6）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PAP??010?，

?002???若P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ为

T?210?

??(A)?110?.

?002????200???(C)?010?. ?002???

?110?

??

(B)?120?.

?002????100??? (D)?020?.

?002???

（7）设事件A与事件B互不相容，则

(A)P(AB)?0.

(B)P(AB)?P(A)P(B).

(D)P(A?B)?1.

(C)P(A)?1?P(B).

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y?0}?P{Y?1}?1，记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数Fz(Z)2- 2 -

的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? .

（10）设z?(x?e)，则

yx?z? . ?x(1,0)en?(?1)nnx的收敛半径为 . （11）幂级数?2nn?1?（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

?300???TTT（13）设??(1,1,1),??(1,0,k)，若矩阵??相似于?000?，则k? .

?000??? (14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? . 三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数f(x,y)?x222?2?y??ylny的极值.

2（16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1??1?x)dx (x?0). x（17）（本题满分10 分） 计算二重积分

22，其中(x?y)dxdyD?{(x,y)(x?1)?(y?1)?2,y?x}. ??D（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，则

???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?.

（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,''则f?(0)存在，且f?(0)?A.

??,(??0)内可导，且limf'(x)?A，

x?0? - 3 -