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2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准

（A卷）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数f(x)?5?4x?x2在(??,2)上的最小值是 （ C ）

2?xA．0 B．1 C．2 D．3

1?(4?4x?x2)11[解] 当x?2时，2?x?0，因此f(x)??(2?x) ??(2?x)?2?2?x2?x2?x1当且仅当而此方程有解x?1?(??,2)，因此f(x)在(??,2)?2，?2?x时上式取等号．

2?x上的最小值为2．

2．设A?[?2,4)，B?{xx2?ax?4?0}，若B?A，则实数a的取值范围为 （ D ） A．[?1,2) B．[?1,2] C．[0,3] D．[0,3) [解] 因x2?ax?4?0有两个实根

2aa2aa x1??4?，x2??4?，

2424故B?A等价于x1??2且x2?4，即

2aa2aa?4???2且?4??4， 2424解之得0?a?3．

3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为

21，乙在每局中获胜的概率为，33且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数?的期望E?为 （ B ） A.

241670266274 B. C. D. 812438181

[解法一] 依题意知，?的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

215 ()2?()2?．

339若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有

5 P(??2)?，

94520 P(??4)?()()?，

9981416 P(??6)?()2?，

98152016266故E??2??4??6??．

9818181[解法二] 依题意知，?的所有可能值为2，4，6.

令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则Ak表示乙在第k局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得

P(??2)?P(A1A2)?P(A1A2)?5， 9P(??4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)

211220 ?2[()3()?()3()]?，

333381P(??6)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)

2116 ?4()2()2?，

338152016266故E??2??4??6??．

98181814．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为a,b,c，则有6a2?b2?c2?564，a2?b2?c2?94，不妨设1?a?b?c?10，从而3c?a?b?c?94，c?31．故6?c?10．c只能取9，8，7，6．

22222??

若c?9，则a2?b2?94?92?13，易知a?2，b?3，得一组解(a,b,c)?(2,3,9)． 若c?8，则a2?b2?94?64?30，b?5．但2b?3从而b?4或5．若b?5，0，b?4，则a?5无解，若b?4，则a?14无解．此时无解．

若c?7，则a2?b2?94?49?45，有唯一解a?3，b?6．

若c?6，则a2?b2?94?36?58，此时2b?a?b?58，b?29．故b?6，但

2222222b?c?6，故b?6，此时a2?58?36?22无解．

?a?2,?a?3,??综上，共有两组解?b?3,或?b?6,

?c?7.?c?9??333333体积为V1?2?3?9?764cm3或V2?3?6?7?586cm3．

?x?y?z?0,5．方程组?的有理数解(x,y,z)的个数为 （ B ） ?xyz?z?0,?xy?yz?xz?y?0?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

?x??1，?x?y?0，?x?0，[解] 若z?0，则?解得?或? y?1.xy?y?0.y?0???若z?0，则由xyz?z?0得xy??1． ① 由x?y?z?0得z??x?y． ②

将②代入xy?yz?xz?y?0得x2?y2?xy?y?0． ③ 由①得x??1，代入③化简得(y?1)(y3?y?1)?0. y易知y3?y?1?0无有理数根，故y?1，由①得x??1，由②得z?0，与z?0矛盾，

?x?0,?x??1,?故该方程组共有两组有理数解??y?0,或?y?1,

?z?0?z?0.??6．设?ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则

sinAcotC?cosA的取值范围是

sinBcotC?cosB （ C ）

5?1) 25?15?15?1C. (,) D. (,??)

222A. (0,??) B. (0,