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24.2 圆的基本性质

第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系

［学习目标］

1．理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性（中心对称性）；

2．掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明. ［学法指导］

本节课的学习重点是理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理并利用其解决相关问题，学习难点是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明；学习中通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。 ［学习流程］

一、导学自习（教材P18-20） （一）知识链接

1． 是中心对称图形. (自己叙述)

2．要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？（1） （2） （二）自主学习

1．顶角在 的角叫做圆心角.

2. 圆既是轴对称图形，又是 对称图形，它的对称中心是 .实际上，圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，因此，圆还是 对称图形. 二、研习展评

活动1：(1) 阅读教材，动手操作：（可以把重合的两个圆看成同圆）

①在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下； ②在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角?AOB和?AOB'，如图1所示，圆心固定． 注意：在画?AOB与?AOB'时，要使OB相对于OA的方向与O?B?相对于O?A?的方向一致，否则当OA与O?A?′重合时，OB与O?B?不能重合．

③将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O?A?重合．

（图1）

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． (2)猜想等量关系： ， . （3）（利用圆的旋转不变性）验证：

（4）归纳圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的

弧 ，所对的弦 ：推论为

活动2：下面的说法正确吗？若不正确，指出错误原因.

(1)如图2，小雨说：“因为A'B'和AB所对的圆心角都是?O，所以有A'B'?AB.” (2)如图3，小华说：“因为AB?CD,所以AB所对的AB等于CD所对的CAD.”

A'ABAOCDOBB'活动3：如图4，在⊙O中，AB?AC，?ACB＝60?，求证:?AOB??AOC??BOC． （分析：根据圆心角、弧、弦之间关系定理，欲证?AOB??AOC??BOC，可先证什

A（图2） （图3）

么？） 证明：

［课堂小结］

OBC（图4） 1. 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的 也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据.

2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。 ［当堂达标］

1.在同圆或等圆中，如果AB?CD,那么AB与CD的关系是（ ）

A.AB?CD B. AB?CD C. AB?CD D.无法确定 2. 下列命题中，真命题是（ ）

A．相等的弦所对的圆心角相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 3.如图5，AB是 ⊙O的直径，C,D是BE上的三等分点，?AOE?60?， 则?COE是（ ）

A． 40° B. 60° C. 80° D. 120 ° 4.教材p20练习

5.已知，如图6，在⊙O中，弦AD?BC，你能用多种方法证明AB?CD吗？

[拓展训练]

已知：如图7，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠

（图5）

AEDCBOCAD（图6） EOBBAD=20°， 求∠ACO的度数．

［课后作业］

［学后反思］

※[课外探究]

1.在⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )．

A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定

2．如图8，在⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想AD与CB之间的关系，并证明你的猜想．

（图7）

（图8）

3．如图9，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，

点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E． (1)求证：AE=BF；

(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．

（图9）

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