内容发布更新时间 : 2024/12/24 11:30:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨

Teaching Discussion of Dirac Delta Function in Information and System CHEN Guang-hong

(Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China) : Definition and property of Dirac delta function is analyzed. Impulse response caused by Dirac delta function is introduced. Some examples are used to explain the notice. Three methods are used to solve the impulse response. 信号与系统是通信技术和电子信息技术专业的一门核心课程。冲激函数δ(t)是信号与系统中的重要信号，此信号本身有采样性质、偶对称性质等，由其衍生出的卷积性质、冲激响应等都是信号与系统中的重要知识点。学生在学习的过程中反映公式多、较抽象、难理解，现将与冲激函数有关的性质、应用中需要注意的问题举例说明，并将这些使用在平时的教学中，效果良好。 1 冲激函数δ(t)的相关知识点 1.1 冲激函数δ(t)的工程定义 （1）

δ(t)是一个奇异函数，而不是一个普通函数，比较抽象，但是它对于集中于一瞬间（或一点）出现的物理量是最好的数学

描述[1]。可以理解为持续时间无穷小、瞬间幅度无穷大、涵盖面积恒为1的一种理想信号。

1.2 冲激函数δ(t)的采样（筛选）性质

若函数f(t)在t=0连续，则有 f(t) δ(t)=f(0)δ(t)（2） 若f(t)在t=t0连续，则有 f(t)δ(t-t0)=f(t0) δ(t-t0)（3）

将上面两式分别取积分，可得 （4） （5）

冲激函数的采样（筛选）性质可以总结为4条公式：两条乘积，两条积分。乘积公式在使用时要与卷积性质相区别，见例题2，积分公式在使用时要注意积分范围是否包含0或t0，下面举例说明。 例题1

分析：由（式5）可知，此题中t0=1，则 若将题中的上下限进行修改，

有不少同学仍旧套用（式5）计算出结果为4，则是错误的。这是因为修改后题中积分范围并未包括t0=1，此时δ(t-1)的取值为0，积分的结果应为0。

1.3 冲激函数δ(t)与任意函数的卷积 任意函数与冲激函数的卷积是任意函数本身。 f(t)*δ(t)=f(t)（6）

f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)（7） 例题2下列各表达式中错误的是（）[3]

分析：此题的选项A即式2，选项B即式7，答案在C或D中选择。对于选项C，参照式4解得结果应为f(-t0)；对于选项D，参照式3求得其结果是正确的，所以本题应选择C。 1.4 冲激函数δ(t)引起的冲激响应h(t)的求解 当激励为单位冲激函数δ(t)时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示[2]。下面以例题3来说明冲激响应的求解方法。

例题3已知某线性非时变系统的微分方程为

y\，试求该系统的单位冲激响应h(t)。 方法一：时域经典法，即用解微分方程的方法来求。 根据冲激响应的定义，当f(t)=δ(t)时，系统的零状态响应yf(t)=h(t)，可知h(t)满足：

微分方程的特征根为λ1=-1，λ2=-4，系统的冲激响应为h(t)=(C1e-t+C2e-4t)ε(t)，C1、C2为待定常数。 由奇异函数的平衡条件，可得 代入上式可得冲激响应 方法二：利用傅立叶变换法

根据傅立叶变换的微分性质和线性性质，可将微分方程两边取傅立叶变换，得

由傅立叶逆变换可知：冲激响应