内容发布更新时间 : 2024/5/6 18:58:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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有关导数概念的几个疑难问题

一、导数相关概念

1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。

函数y =f(x)在x0点可导是f(x)在x0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果

?x?0lim?y不存在，称函数在x0点不可导；若lim?y存在，则称此极限值为函数在该点

?x?x?0?x的导数。

2．y =f(x)在x0点可导有以下三个条件： ①y =f(x)在x0点处及其附近有意义；②左极限③

?x?0lim??y及其右极限lim??y都存在；

?x?x?0?x?x?0lim??y=lim??y，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不

?x?x?0?x可导。

3．导函数y =f?(x)与原来的函数y =f(x)有相同的定义域(a，b)．

4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别： ①． 函数在一点处的导数y0=

f?(x0)是一个常数，不是变量．

②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数y =f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数y0=

f?(x0)．根据

函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =f(x)的导函数y =f?(x)．

③．函数y =f(x)在点x0处的导数y0=值，即

f?(x0)就是导函数y =f?(x)在点x = x0处的函数

f?(x0)=f?(x)|x?x0．

5．导数与连续的关系：

若函数y =f(x)在x0处可导，则此函数在x0处连续，但逆命题不成立，即函数y =f(x)在x0处连续，未必在x0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．

下面用两个例题说明这个问题． 例1

求证：若函数在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处连续．

证明：∵函数f(x)在点x0处可导，∴在点x0处有：

数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 lim[f(x)－f(x0)] =lim?y=lim(?y·?x) =lim?y·lim?x=f?(x0)·0

?x?0?x?0?x?0?x?0x?x0?x?x= 0， ∴limf(x)=

x?x0f(x0)，即函数f(x)在点x0处连续．

例2

求证：函数f(x)= | x |在点x0= 0处连续，但在x0处不可导．

?x?0?证明：∵①f(0)= 0；②③

lim| x | =

?x?0?lim| x | =

?x?0lim| x | = 0 ；

?x?0limf(x)=f(0)．

∴f(x)= | x |在点x0= 0处连续．

① 又∵函数f(x)= | x |在点x0= 0及其附近有意义； ②

?yf(x0??x)?f(x0)f(0??x)?f(0)f(?x)|?x|=====?x?x?x?x?x??x?1,?x＞0???x ； ????x??1.?x＜0???x③

?x?0lim??y=－1，lim??y=1，即lim?y不存在，所以f(x)= | x |在点x0= 0处不

?x?0?x?x?0?x?x可导．

综上所述，函数f(x)= | x |在点x0= 0处连续，但在在x0处不可导．

综上，函数y =f(x)在点x0处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：

f(x)在点x0处有定义，不一定在x0处连续；但f(x)在点x0处连续，一定在点x0处有定

义，即f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的必要而不充分的条件。

f(x)在点x0处连续，则f(x)在点x0处一定有极限，且limf(x)=f(x0)；但f(x)在点

x?x0x0处有极限，不一定在点x0处连续，即f(x)在点x0处连续是f(x)在点x0处有极限的充分而不必要的条件。

f(x)在点x0处连续是f(x)在点x0处可导的必要而不充分的条件。

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