内容发布更新时间 : 2024/12/27 10:18:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 导数及其应用

一， 导数的概念 1..已知f(x)?,则lim?x?0

f(2??x)?f(2)的值是（ ）

?x11A. ? B. 2 C. D. －2

441x变式1：设f??3??4,则limf?3?h??f?3?为（ ）

h?02hA．－１

Ｂ．－2C．－3D．1

f?x0??x??f?x0?3?x?变式2：设f?x?在x0可导,则lim等于 ?x?0?x A．2f??x0?

B．f??x0?

C．3f??x0?

D．4f??x0?

（ ）

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f(x)?0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：

'第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

x4mx33x2f(x)???

1262（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

x4mx33x2x3mx2????3x 解:由函数f(x)? 得f?(x)?126232?g(x)?x2?mx?3

（1）Qy?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，

则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0

2?g(0)?0??3?0???m?2 ?g(3)?09?3m?3?0?? 解法二：分离变量法：

∵当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立, 当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立

22x2?33?x?的最大值（0?x?3）恒成立， 等价于m?xx3而h(x)?x?（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2?m?2

x

(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当m?2时g(x)?x?mx?3?0 恒成立

2变更主元法

再等价于F(m)?mx?x?3?0在m?2恒成立（视为关于

2m的一次函数最值问题）

2?F(?2)?0???2x?x?3?0??????1?x?1 2F(2)?0???2x?x?3?0 ?b?a?2-2 2 1322例2：设函数f(x)??x?2ax?3ax?b(0?a?1,b?R)

3 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）f?(x)??x?4ax?3a???x?3a??x?a?

22Q0?a?1

f?(x) a 3a a 3a 令f?(x)?0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a） 令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）

∴当x=a时，f(x)极小值=?33a?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 422 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①

则等价于g(x)这个二次函数??gmax(x)?ag(x)?x2?4ax?3a2的对称轴

?gmin(x)??ax?2aQ0?a?1,a?1?a?a?2a（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.

∴

g(x)max?g(a?2)??2a?1.?a?1,x?2a a?2?

g(x)min?g(a?1)??4a?4.

于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于

?g(a?2)??4a?4?a,44 又∴?a?1. 0?a?1,解得?a?1.?55?g(a?1)??2a?1??a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

32例3；已知函数f(x)?x?ax图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

t?62x?(t?1)x?3(t?0) 2（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 g(x)?x3??f/(1)??3?a??3解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得?

?b??2?b?1?a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16 ∴f(x)的值域是[?4,16]

t2x?[1,4] （Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?322思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6分离变量

/2思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；