内容发布更新时间 : 2024/12/28 19:16:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

124.求向量组?1?(1,?1,2,4)，?2?(0,3,1,2)，?3?(3,0,7,14)，

?4?(1,?1,2,0)，?5?(2,1,5,6)的极大无关组,并求出组中其余向量被该极大

无关组线性表出的表达式。

125.已知向量组（Ⅰ）?1,?2,?3,(Ⅱ)?1,?2,?3,?4,(Ⅲ)?1,?2,?3,?5，若各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4,证明向量组（Ⅳ）：?1,?2,?3,?5??4的秩为4。

?2?1?11?11?21126.设矩阵A???4?62?2??36?972??4?，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组。 ?4?9??a??1??1?127.已知向量?1??1?,?2??a?,?3???1?线性相关，求的a值。

?1???1??a???????128.设矩阵A?(?1,?2,?3,?4),其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3，向量

???1??2??3??4求方程AX??的解。

22?3x3?4x1x2?4x1x3是不是正定的。 129.判断实二次形10x12?2x2222?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x4130.?取什么值时,实二次形?(x12?x2是正定的。

222131.?取何值时，实二次型f??(x12?x2?x3)?2x1x3?2x2x3?2x3x1?x4是正定的？

132.t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?t(x12?x22?x32)?2x1x2?2x2x3正定。 133.t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?5x32?2tx1x2?2x1x3?4x2x3正定。 134.t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?5x32?2tx1x2?2x1x3?4x2x3正定。 135.求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x22?4x2x3?4x1x2化为只含有平方项的标准形。

136.求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?4x12?3x22?2x2x3?3x32化为只含有平方项的标准形。

137.将二次型f(x1,x2,x3)?2x12?2x1x2?4x1x3?6x2x3?x32化为规范形，并指出所用的线性变换。

138.用正交线性替换化实二次型f(x)?2x12?4x1x2?2x22?2x32为典范形，并求相应的正交阵。

139.已知向量组?1=(1,1,0,-1),?2=(1,2,3,4)，?3=(1,2,1,1)，?4=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间span(?1,?2,?3,?4)的维数和一个基。

?421??的特征值。 ?20?1140.求A??????110???100??的特征值。 010141.求A??????001???001??的特征值。 010142.求A??????100???500??的特征根和相应的特征向量。 032143.求矩阵A??????0?23???4?144.设A??2?2??1?145.设A???2?2??0?146.设A??1?1?242?2?2410?32??2?，求一个正交矩阵u,使u/Au为对角形矩阵。 4??2??4?，求一个正交矩阵u,使u/Au为对角形矩阵。 ?2??1???3?，用初等变换求一可逆矩阵P,使P/AP是对角形式。 ?10??1147.设A???2?1?2111??1?，用初等变换求一可逆矩阵P,使P/AP是对角形式。 3??2?1??3?,求可逆矩阵,使T?1AT是对角形矩阵。 ?2?22148.设A??T???6?1??3??122??，求一个正交矩阵，使T/AT是对角矩阵。 212149.设A??T????221???1?2?4??5???150.设矩阵A???2x?2?与B????4?21???????y?相似，求x,y。 ?4??151.?1?(1,1,1),?2?(1,1,2),?3?(1,2,3),??(6,9,14)，求?关于基?1,?2,?3的坐标。 152.已知?1??1,1,1?,?2??1,2,4?,?3??1,3,9?是线性空间P3的一组基，求向量

???1,1,3?在基?1,?2,?3下的坐标。

?1??0??1??1??1??1??????????????1??0?,?2??1?,?3??1?153.设R3中的两个基分别为?1??0?,?2??1?,?3??2?，（1）

?1??0??2??0??0??1?????????????求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。

?1???（2）已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?3?，求?在基?1,?2,?3下的坐标。

?0???154.已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x2?x?1在该基下的坐标。 155.已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x2?2x?1在该基下的坐标。 156.考虑R3中以下两组向量{?1?(?3,1,?2),?2?(1,?1,1),?3?(2,3,?1)}；

{?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(2,0,1)}，证明{?1,?2,?3}和{?1,?2,?3}都是R3的基。并求出

由基{?1,?2,?3}到{?1,?2,?3}的过渡矩阵。

?15?115??,20?158157.设F上三维向量空间的相性变换?关于基{?1,?2,?3}的矩阵是?????8?76??求?关于基?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?4?2??3,?3??1?2?2?2?3的矩阵。

??1?(1,0,?1)??1?(0,1,1)??158.R3中的两向量组??2?(2,1,1)，??2?(?1,1,0)

???(1,1,1)???(1,2,1)?3?3（1）证明它们都是R3的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵， （3）如果?在基{?1,?2,?3}下的坐标为（3，1，2），求?在基{?1,?2,?3}下的坐标。

159．设在标准欧几里得空间V?R4中有向量组?1?(2,2,2,2)，?2?(0,2,2,2) ?3?(0,0,2,2),?4?(4,2,0,0)，求L(?1,?2,?3,?4)的一个基与维数。 四、判断题

1.判断Rn中的子集?(a1,0,...,an)a1,an?R?是否为子空间。 2.判断R中的子集?(a1,a2,...,an)n?ai?1nni?1?是否为子空间。 ?是否为子空间。

3.判断R中的子集?(a1,a2,...,an)n?ai?1i?04.判断R3的向量?1?(3,1,4),?2?(2,5,?1),?3?(4,?3,7)是否线性相关。 5.判断R3的向量?1?(1,?2,3),?2?(2,1,0),?3?(1,?7,9)是否线性相关。 6.判断R3的向量?1?(1,0,0),?2?(1,1,0),?3?(1,1,1)的线性相关性。 7.若整系数多项式f(x)在有理数域可约，则f(x)一定有有理根。（） 8.若p(x)、q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x))?1，则存在非零常数c，使得

p(x)?cq(x)。（）

9.对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（） 10.若矩阵A的所有r?1级的子式全为零，则A的秩为r。（）

11.若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（）

12.若向量组?1,?2,L,?s（s?1）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（）

13.若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（） 14.若矩阵A、B满足AB?0，且A?0，则B?0。（）

15.A称为对称矩阵是指A'?A．若A与B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵。（）

16.设n级方阵A、B、C满足ABC?E，E为单位矩阵，则CAB?E。（）

17.若?1,?2是方程(A??I)X?0的一个基础解系，则k1?1?k2?2是A的属于?的全部特征向量，其中k1,k2是全不为零的常数。（） 18.A、B有相同的特征值，则A与B相似。（） 19.若f(x)无有理根，则f(x)在Q上不可约。（） 20.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（）

21.对于整系数多项式f(x)，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么

f(x)不可约。（）

三、简要回答

1．设f(x),g(x)?P[x],g(x)?0,若f(x)?g(x)q(x)?r(x),则(f(x),g(x))?

(f(x),r(x))成立吗？为什么？

2.设A????ab?/2?,则当满足何条件时,？？为什么？ a,b,c,dA?AA?A??cd?3．若?1,?2,L,?s与?1,?2,L,?s均相关,则?1??1,?2??2,L,?s??s相关吗？为什么？ 4．若A、B均为n级阵,且A≌B,则A与B的行向量组等价吗？为什么？ 五、证明题

1.证明：两个数环的交还是一个数环。 2．证明：F???m?m,n?Z?是一个数环。 n2??3．证明：F??a?bia,b?Q?是一个数域。

4.证明：f:A?B,g:B?C是映射，又令h?gof，证明：如果h是单射，那么f也是单射。

5.若(x3?x2?x?1)|(f(x2?xg(x2)),则(x?1)|f(x),(x?1)|g(x)。 6.令f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)都是数域F上的多项式,其中f1(x)?0且

g1(x)g2(x)|f1(x)f2(x),f1(x)|g1(x)，证明:g2(x)|f2(x)。