内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:32:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

裴波纳契数列及其性质

在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契 数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。

本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。

1. 裴波纳契数列的由来

斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？

问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：

月 份

1 2 3 4 5 6 7

8

9 10 11 12

13 89

小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

大兔子数（对） 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。

仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列?Fn?：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55??，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。

2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:

假如我们把?Fn?设为裴波纳契数列，不难发现数列?Fn?是由递推关系式：

F1?F2，F3?F1?F2，??，Fn?Fn?1?Fn?2?n?3? ??? 所给出的一个数列。从而，

我们就可以轻而易举地算出两年，三年??以后的兔子数。为了便于探讨该数列具有的若干性质和变化规律，我们首先给出几个与裴波纳契数列相关的数学模型，然后对裴波纳契数列展开讨论。

2.1 覆盖问题

例1 用1?2的骨牌覆盖2?n的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？ 解 设有an种不同的覆盖方法，将棋盘水平放置，考虑最后一个骨牌的放法：若垂直放置，则有an?1种不同的覆盖方法；若水平放置，则必须与它并排放置另一块骨牌，有an?2种不同的覆盖方法。于是，由加法原理得：an?an?1?an?2 ，其初值为a1?1，a2?2,因此，an?Fn?1 ?n?2?。

例2 用1?1和1?2两种骨牌覆盖1?n的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？ 解 设覆盖方法有bn种，考虑最后一块骨牌：若是1?1的，则有bn?1种覆盖方法；若是1?2的，则有bn?2种覆盖方法。所以，bn?bn?1?bn?2，其初值为b1?1，

b2?2，于是，bn?Fn?1 ?n?2?。

2.2 爬楼梯问题

例3 某人爬有n个台阶的楼梯，一步可以迈一个或两个台阶，问这个人有多少种不同的爬楼方法？

解 设爬n个台阶有cn种方法。考虑最后一步：若最后一步迈一个台阶，则前n?1个台阶有cn?1种方法；若最后一步迈两个台阶，则前n?2个台阶有cn?2种不同的方法。于是，由加法原理得：cn?cn?1?cn?2，易知其初值c1?1，c2?2，从而cn?Fn?1 ?n?2?。

2.3 0-1序列问题

例4 由0和1组成的序列称为0-1序列，序列中数的个数称为这个0-1序列的长度，若果0100011011是一个长度为10的0-1序列，求长为n的0-1序列中任何两个1不相邻的序列的个数。

解 设这样的序列有en个，考虑最后一个数，如果最后一位是0，则只要前

n?1位任何两个1不相邻即可，因此，满足要求的序列有en?1个。若最后一位是

1，则倒数第二位是0，于是只要前n?2位任何两个1不相邻即可，因此满足要求的序列有en?2个，由加法原理得：en?en?1?en?2，由初值e1?2,e2?3得

en?Fn?2，当然也可以写成en?Fn?Fn?1 ?n?2?。

例5 求长为n的0-1序列中既不含有010也不含有101的0-1序列的个数。 解 设这样的序列有gn个，以0和1结尾的这样的序列的个数分别用gn,0和

gn,1表示。则gn?gn,0?gn,1。

1

以0结尾的序列有如下两种：（1）??00

（2）??110

第一类中只要前n?1位既无010也无101即可，注意到前n?1位是以0结尾的，所以有gn?1,0个这样的序列；

第二类中只要前n?2位无010和101即可，因为前n?2位是以1结尾的，故有gn?2,1个这样的序列；

于是有: gn,0?gn?1,0?gn?2,1 ------① 同样，以1结尾的序列有如下两种：（1）??11

（2）??001

于是有： gn,1?gn?1,1?gn?2,0 ------② 由①+②得： gn?gn,0?gn,1?gn?1?gn?2 再由初值g1?1，g2?4，得：gn?2Fn?1 ?n?2?

2.4 一个几何上的例子

例6 半径为1的两个圆⊙O1, ⊙O2外切，l是它们的一条外公切线，依次作⊙O3和⊙O1、⊙O2、l均相切，作⊙O4和⊙O2、 ⊙O3、l均相切??，作⊙On?1与⊙On?1、⊙On、l均相切，求⊙On的半径的表达式。

解 作On?1R、OnS?l，过On?1作l的平行线分别交On?1R、OnS于P、Q,作

OnM?On?1R于M，则由OnM?On?1P?On?1Q，

可得 令

1rrnn?1?rrn?1n?1?rrnn?1.

1. Fn2an?，则an?1?an?an?1且a1?a2?1，故an?Fn，从而rn?nr3．裴波纳契数列的性质 3.1 基本性质

为了方便讨论裴波纳契数列具有的若干性质和变化规律，本文首先从?Fn?的通设g?x??F1x?F2x2?F3x3???Fnxn?? ------① 项公式入手，对裴波纳契数列展开讨论. 由裴波纳契数列的递推公式???， 可得：g?x??x2?x ?F3x3???Fnxn??

=(F1?F2)x3?(F2?F3)x4???(Fn?1?Fn?2)xn??

?(F1x3?F2x4???Fn?1xn??)?(F2x3?F3x4???Fn?2xn??) ?x2g?x??x?g?x??x? ?(x2?x)g?x??x2

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