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整数的整除性与同余（教案）

教学内容 整除与同余

教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;

2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.

教学过程

一、整数的整除性 1、整除的定义：

对于两个整数a、b（b≠0），若存在一个整数m，使得a?m?b成立，则称b整除a，或a被b整除，记作b|a. 2、整除的性质

1）若b|a,则对于任意非0整数m有bm|am; 2) 若b|a，c|b，则c|a

3) 若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c； 4) 若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；

5) 若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 6）连续整数之积的性质

任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除 例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。

证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z)

例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜a679b试求a,b的值。

解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除a679b时a,b的值。若8｜a679b，则8｜79b，由除法可得ｂ＝２若9｜a679b，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3

31例3（1956年北京竞赛题）证明：n3?n2?n?1对任何整数n都为整数，且用3除时余

222。

证明：n3?3211n?n?n(n?1)(2n?1) 2221∵n(n?1)为连续二整数的积,必可被2整除.∴n(n?1)对任何整数n均为整数,

231∴n3?n2?n?1为整数,即原式为整数.

22又∵

n(n?1)(2n?1)4n(n?1)(2n?1)2n(2n?1)(2n?2)??288;

2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，

∴是能被3整除的整数.

31故n3?n2?n?1被3除时余2.

22例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除. 证明 ∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.

∵2|/ .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).

∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）. 又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），

∵3|/ a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除. 二、同余及其性质 1、同余的概念

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为:a≡b（modm）. （*）上式可读作：a同余于b，模m.

同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）. 补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：ab（modm）

2、同余的性质

同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）

性质1：a≡a（mod m），（反身性） 这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。 性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。

性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。 性质6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m），（其中n为自然数）。

性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。

注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37），∵74-20=54，而3754，∴7420（mod37）。 例2 求14389除以7的余数。

分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。 解：∵143≡3（mod7） ∴14389≡389（mod 7）

∵89＝64+16+8+1 而32≡2（mod 7）， 34≡4（mod7）， 38≡16≡2（mod 7）， 316≡4（mod 7）， 332≡16≡2（mod 7）， 364≡4（mod 7）。 ∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7）， ∴14389≡5（mod 7）。 答：14389除以7的余数是5。 例3 证明方程2x2-5y2=7无整数解. 证明 ∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.

① 若x为偶数，则2x2?0(mod8),y2?(2n?1)2?4n(n?1)?1