内容发布更新时间 : 2024/9/30 3:29:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

4 线性空间与线性变换

我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。 线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问题的某一侧面。

线性映射就是线性空间之间的映射，并且这种映射保持加法和纯量乘法两种运算。

线性变换就是线性空间V到自身的线性映射，也就是最简单的一种映射。

当我们学习完线性代数这门课程后，我们会发现，其实，线性代数只是研究了两个东西：矩阵与线性变换（线性映射），而我们先前学习的矩阵，是学习本课程的基础，也是为这里学习线性变换（线性映射）提供一种“工具”。所以，作为线性代数中最本质的东西，我们是应该多花些时间来好好研究这一章的。

4.1 线性空间

1、判断下述集合对于所指定运算是否形成实数域R上的线性空间 (1) R[x]中所有2次多项式组成的集合V，对于多项式的加法与数量乘

法；

(2) 所有正实数组成的集合R+，加法与数量乘法分别定义为 a?b=ab,?a,b?R+， ka=ak,?a?R+,k?R。

解：(1)不是；

因为,若令f=x2?x,g??x2?V，但f+g=(x2?x)+(?x2)=x?V，

即该集合对于加法不封闭，从而得证；

(2)是，（下面由线性空间的定义证明）

首先，我们根据已知条件，易得该集合关于向量乘法及数量乘法是封闭的，

然后，我们证明其满足线性空间的8个条件： 对?a,b,c?R+,?k，m?R，我们有， 关于加法

i) a?b=ab=b?a 即满足交换率

ii) (a?b)?c=(ab)?c=（ab）c=abc=a(bc)=a(b?c)=a?(b?c) 即

满足结合率

iii) ? 1?R+，st a?1=a 即存在零元1

111 iv) ? ?R+,st a??a?1 即对于每一R+中的元素都存在负元

aaa 关于乘法

v) 1?R+,st 1a=a1?a,即1也是单位元 vi) (km)a=akm?(am)k=k(m vii) (k+m)a=ak+m?akam?(ka) a)(ma)?(ka)?(mb)?(ka) a)?(kb)

viii)k(a?b)=k(ab)=(ab)k?akbk?(ka)(k即满足线性空间的定义，从而得证，所有正实数组成的集合R+，关于定义的加法与数量乘法构成实数域R上的线性空间。

点评：当要证明或判断某集合关于运算法则能够构成线性空间时，我们必须按照定义条件一一给以证明，（我们以后还会明白，有时只需证明其是以子空间也可）但当对其进行否定时，只需举出一反例即可。

2、设V是数域F上的线性空间，?，??V，集合

L?????k??m?,k,m?F?是V的一个子空间，这是由于，对

??1?k1??m1?，?2?k2??m2??V,k1,m1，k2,m2?F （k1?k2）?+（m1?m2）??L， 我们有 ?1??2? k?1?kk1??km1??L,k?F

所以，得证L是V的子空间。

点评：当我们已知某集合关于定义的运算法则构成线性空间时，要求证明其某一子集是其子空间时，我们有定理说明，只需证明关于定义的运算法则关于加法和数量乘法运算封闭即可。

???x13、设V?????x2?ix3?x2?ix3???x,x,x?R? ??x1?123?? (1) 证明V对于矩阵的加法和数量乘法构成实数域R上的一个线性空间 (2)求V的一组基和维数；

?x1 (3)求V中元素??x2?ix3x2?ix3??在第(2)小题中所求坐标基下的坐标。 ?x1?解：(1)按照线性空间定义一一验证即可；

?10??01??0i?(2)取A=?,B?,C??????，则A，B，C是数域R上的

?0?1??10???i0?线性无关向量组，又因为，对于V中的任意元素

?x1??x2?ix3x2?ix3???Ax1?Bx2?Cx3， ?x1? 所以，A,B,C构成V的一组基，且其维数就是3； (3) 由(2)得