内容发布更新时间 : 2024/7/2 11:07:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第八章
1. 解：（1）假设检验的基本思想是，样本平均数与总体平均数出现差异不外乎两种可能：一是改革后的
总体平均长度不变，但由于抽样的随机性使样本平均数与总体平均数之间存在抽样误差；二是由于工艺条件的变化，使总体平均数发生了显著的变化。因此，可以这样推断：如果样本平均数与总体平均数之间的差异不大，未超出抽样误差范围，则认为总体平均数不变；反之，如果样本平均数与总体平均数之间的差异超出了抽样误差范围，则认为总体平均数发生了显著的变化。
根据样本平均数的抽样分布定理，有μ?x?Zσx或x?μ/σx?Z。当Z?0时，表明样本均值等于总体均值，即x?μ；当Z很大时，表明样本均值离总体均值很远，即?很大。后一种情况是小概率事件。在正常情况下，小概率事件是不会发生的，那么在一次抽样中小概率事件居然发生了，我们就有理由认为样本均值是不正常的，它与原总体相比，性质已经发生变化，应该拒绝接受原假设。
（2）假设检验的一般步骤包括： ① 提出原假设和备择假设；
对每个假设检验问题，一般可同时提出两个相反的假设：原假设和备择假设。原假设又称零假设，是正待检验的假设，记为H0；备择假设是拒绝原假设后可供选择的假设，记为H1。原假设和备择假设是相互对立的，检验结果二者必取其一。接受H0，则必须拒绝H1；反之，拒绝H0则必须接受H1。
② 选择适当的统计量，并确定其分布形式；
不同的假设检验问题需要选择不同的统计量作为检验统计量。在例中，我们所用的统计量是Z，在H0为真时，Z~N(0，1)。
③选择显著性水平α，确定临界值；
显著性水平表示H0为真时拒绝H0的概率，即拒绝原假设所冒的风险，用α表示。假设检验就是应用了小概率事件实际不发生的原理。这里的小概率就是指α。但是要小到什么程度才算小概率? 对此并没有统一的标准。通常取α=0.1，0.05，0.01。给定了显著性水平α，就可由有关的概率分布表查得临界值，从而确定H0的接受区域和拒绝区域。临界值就是接受区域和拒绝区域的分界点。
④作出结论。
根据样本资料计算出检验统计量的具体值，并用以与临界值比较，作出接受或拒绝原假设H0的结论。如果检验统计量的值落在拒绝区域内，说明样本所描述的情况与原假设有显著性差异，应拒绝原假设；反之，则接受原假设。
2. 解：（1）抽样估计和假设检验都是统计推断的重要内容。如果总体分布形式已知，只是总体参数未知，
则统计推断问题就归结为推断总体参数的问题。抽样估计或称参数估计是根据样本资料估计总体参数的真值，而假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先验假设是否成立。区间估计通常求得的是以样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验不仅有双侧检验也常常采用单侧检验，视检验的具体问题而定。区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度(可信度)1-α去估计总体参数的置信区间。而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平α去检验对总体参数的先验假设是否成立。
区间估计和假设检验虽各有其特点，但也有着紧密的联系。两者都是根据样本信息对总体参数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是建立在概率基础上的推断，推断结果都有一定的可信程度或风险；对同一实际问题的参数进行推断，使用同一样本、同一统计量、同一分布。因而，两者可以相互转换，即区间估计问题可以转换成假设检验问题，假设检验问题也可以转换成区间估计问题。这种相互转换形成了区间估计与假设检验的对偶性。
（2）根据置信区间进行假设检验的方法如下：
以总体均值?的区间估计和假设检验为例，当总体方差?2已知时，?x??/n，由于统计量
Z?x?μ0/σx?x?μ0/(σ/n)~ N (0, 1)
给定置信度1－α时，有
P(Z?Zα2)?1?α
反之
P(Z?Z?2)??
当总体均值μ可知时，可估计的μ置信度为1－α的置信区间为
?Z?2?(?-x)/?x?Z?2
上式等价于Z检验的接受区域：Z?Zα2
若事先假设：???0，可求出统计量Z的具体值。当Z?Z?2时，不属于小概率事件，应接受原假设；反之，当Z?Z?2时，小概率事件发生了，按假设检验的规则，应拒绝原假设。可见，区间估计中的置信区间对应于假设检验中的接受区域，置信区间之外的区域就是拒绝区域。对比率、方差等问题的区间估计和假设检验也同样存在这种对偶性。
3. 解：根据题意，提出假设：H0：??1000，H1：??1000
检验统计量Z?x??0/?x?x??0/(?/n)?958-1000/(100/25)?2.1
由α=0.02，查《正态分布分位表》(附录2表4)得临界值Zα?2.054
由于Z = 2.1＞Z?= 2.054，所以应拒绝H0而接受H1，即这批元件的使用寿命不低于1000小时，是合格品。
4. 解：根据题意，提出假设：H0：??500，H1：??500
检验统计量Z?x??0/?x?x??0/(?/n)?495-500/(20/100)?2.5 由α=0.05，查表得临界值Zα?1.645
由于Z=2.5＞Zα/2 =1.645，所以应拒绝H0而接受H1，即工艺改革后这批产品的使用寿命确有显著提高。
5. 解：第一类错误：当原假设H0为真，但由于样本的随机性使样本统计量落入了拒绝区域，这时所作的
判断是拒绝原假设。这类错误称为第一类错误，亦称拒真错误，它实质上就是前面提到的显著性水平α，即P{拒绝H0∣H0为真}=α。第二类错误：当原假设H0为不真，但由于样本的随机性使样本统计量落入接受区域，这时的判断是接受原假设。这类错误称为第二类错误，亦称取伪错误。犯第二类错误的概率亦称取伪概率，用β表示，即P{接受H0∣H0不真}=β。
在一般场合，当n固定时，减少α必然导致β增大；反之减少β必然会增大α。以利用Z统计量进行右侧检验的情况为例；
α= P（Z＞Zα∣H0为真） β= P（Z≤Zα∣H0为真）
要使α小，则临界值 Zα增大，而 Zα增大必然导致β增大。反之，要使β小，则必然导致α增大。
6. 解：正态分布是与自由度无关的一条曲线，t分布是依自由度而变的一组曲线。t分布较正态分布顶部
略低而尾部稍高。在小样本情况下二者的区别较大，t分布呈现尖峰后尾特征。当自由度趋于无穷大时，t分布曲线就成为标准正态分布曲线。在总体方差未知的情况下，检验均值特征使用t分布。 7. 解：根据题意，提出假设：H0：??800，H1：??800
检验统计量Z?x??0/?x?x??0/(?/n)
?820?800/(60/16)?1.333
由α=0.01，查表得临界值Zα=2.326
由于Z=1.333 8. 解：假设H0：P0=0.4，H1：P<0.4。 样本比率P=m/n=76/200=0.38 由于样本容量大，所以可近似采用Z检验法，有 Z?P?P0P(1?p)n?0.38?0.30.38?0.62200?0.08?2.3310.0343 给定α=0.05，查《正态分布分位表》(附录2表5)得Z??1.645。 由于Z?Z?，拒绝原假设，即认为报纸的订阅率显著降低了。 9. 解：已知?0?25000，n?10，计算得x?25200，S?332.666 提出假设：H0：??25000，H1：??25000 检验统计量｜t｜=(x??0)/?x?(x??0)/(S/n) ?(25200?25000)/(332.666/10)?1.90 由α=0.05，查《t分布表》(附录2表5)得临界值t?2(n－1)= t0.025(10－1)=2.262。 由于｜t｜=1.90＜t?2(n－1) = 2.262，所以接受H0，即认为该厂轮胎的耐用里程不存在显著差异。 10. 解：计算得S2?0.00128 22假设H0：?0=0.03，H1：?0≠0.03 2统计量?=(n?1)S2/?0=(6－1)0.00128/0.03=7.11 2α=0.1，查《?分布表》(附录2表6)得?0.05(5)=2.015，故应拒绝H0而接受H1，即认为总体口径方 22差存在显著差异。 11. 解：（1）接受 （2）拒绝 （3）接受 （4）拒绝 （5）接受 （6）接受 12. 解：（1）拒真错误 （2）没有错误 （3）取伪错误 （4）没有错误 （5）没有错误 13. 解：对于甲乙厂放映时间方差的检验，首先建立假设： 22H0：?12??2，H1：?12??2 在n=5，m=7，α = 0.05时，F0.025(4, 6)=6.23，F0.975(4, 6)=0.161 故拒绝域为{F≤0.161或F≥6.23} 2现由样本求得Sx2=78.8，Sy=233.33，从而F=0.338，落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可以认为两 厂放映时间的方差存在显著差别。 对于甲乙厂放映时间均值的检验，首先建立假设： H0：?1??2，H1：?1??2 2计算可得：甲厂：n=5，x=97.4，Sx2=78.8；乙厂：m=7，y=100，Sy=233.33；α=0.05 2由于n与m都不大，且Sx2与Sy又相差很大，故拟采用t?统计量进行检验。经计算，对应t?分布的 自由度为L=9.747，取整后为10。在α=0.05时，t0.05(10)=1.8125，现由样本求得t?=-0.371 22H0：?12??2，H1：?12??2 在n=10，m=5，α = 0.05时，F0.025(9,4)=8.9，F0.975(9,4)?1F0.025(4,9)?0.212 故拒绝域为{F≤0.212或F≥8.9} 由已知S12=1.621，S22=0.135，从而F=12.007，落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可以认为A、B蛋白质含量的方差存在显著差别。 对于A、B蛋白质含量均值的检验，首先建立假设： H0：?1??2，H1：?1??2 经计算，对应t?分布的自由度为L=11.528，取整后为12。在α=0.05时，t0.05(12)=1.782，现由样本求得t?=5.979>t0.05(12)，故拒绝H0，认为A、B蛋白质含量均值存在显著差别。