内容发布更新时间 : 2024/5/17 21:08:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.3.8发射卫星采用三级火箭系统

问题分析

火箭是一个复杂的系统,为了使问题简单明了,这里只从动力系统及整体结构上分析,并假定引擎是强大的.

1. 为什么不用一级火箭发生人造卫星? (1) 卫星进入轨道,火箭所需最低速度.

(2) 火箭推进力及速度的分析.

(3) 一级火箭末速度上限(目前技术条件下). 2. 理想火箭模型

3. 理想过程的实际逼近-----多级火箭卫星系统.

模型假设

1. 卫星轨道为郭地球中心某一平面的圆,卫星在此轨道上以地球引力做为向心力绕地球做平面圆周运动,如图2.13所示.

图2.12 卫星轨道

2. 地球是固定于空间中的均匀球体,其它星球对卫星引力忽略不计.地球半径为R,中心为O,地球质量看成集中于球心(据地球为均匀球体的假设),曲线C为地球表面, C?为卫星轨道,其半径为r,卫星质量为m,根据牛顿定律,地球对卫星的引力为:

F?G?m. (1.2) r2其中G为引力常数,可根据卫星在地面的重量算出,即:

G?代入(1.2)式得:

m2?mg, (1.3) G?gR2R2m?R?F?gR2?2?mg???, (1.4)

r?r?由假设(1),卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心力,故又有:

v2gF?m?,从而速度为:v?R?. (1.5)

rr2取g?9.81m/s,R?6400km,又取卫星离地面高度为600km,则r?7000km,此时可

得: v?R?g?7.6km/s. r3. 火箭在喷气推动下做直线运动,火箭重力及空气阻力均不计.

模型建立

设在t时刻,火箭质量为m(t),速度为v(t),均为t的连续可微函数,由泰勒展式有:

m(t??t)?m(t)?dm?t?o(?t2), (1.6) dt这个质量的减少,是由于燃料燃烧喷出气体所致.设喷出气体相对于火箭的速度为u(就某种燃料而言为常数),则气体相对于地球运动速度为v(t)?u.据动量守恒定律:

m(t)v(t)?m(t??t)v(t??t)?(从(1.6), (1.7)可得:

dm?t?o(?t2))(?t?u). (1.7) dtm?m0?dvdm??u?,由此解得:v(t)?v0?u?ln? (1.8) ??dtdt?m(t)?此处:v0?v(0),m0?m(0).式(1.8)第一式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与气体相对于火箭运动速度的乘积.第二式表明,在v0和m0一定下,v(t)由喷发速度(相对于火箭)u及质量比m0m(t)决定,这为提高火箭速度找到了正确的途径:提高u(从燃料上想法),减少m(t)(从结构上).完全合乎实际.

火箭—卫星系统质量可分成三部分:mp(有效负载,如卫星), mF(燃料质量),mS (结构质量).发射一级火箭运载卫星时,最终(燃料耗尽)质量为mp?mS,由式(1.8)知末速度:

?m0?v(t)?u?ln??m(t)??,(v0?0). (1.9)

??以目前技术,很难做到ms?代入式(1.9)得:条件下

ms11mF,即?.假设ms??(mF?ms)??(m0?mF)8mF?ms9?m0v(t)?u?ln???m?(1??)m0p??? . (1.10) ??根据现有技术条件和燃料性能,u只能达到3km/s,即使火箭不带卫星,也不计空气阻力及火箭本身重量,取??1,由式(1.10)得: 9v?u?ln1??u?ln9?6.6km/s.因此用一级火箭发射卫星,至少目前条件下无法达到

在相应高度所需的速度(前面推出速度).

经检查上面设计,发现该火箭模型缺点在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底,但是当燃料耗尽时,发动机加速的仅是一个空的燃料舱.因此,有待改进火箭的设计.

理想的火箭模型应该是随着燃料燃烧随时抛弃无用的结构.在t到(t??t)时间内,丢掉总质量为1(包括结构质量和燃烧掉的质量),设丢掉的结构质量为?(0???1),燃料的质量为(1??),即?与(1??)按比例同时减少.

由动量守恒定律:

dmdm?t?v(t)?(1??)?t?(v?u). dtdtdmdm?t表示丢弃的结构质量,?(1??)?t表示燃烧喷出的气体质量.化简整理其中??dtdtdvdm??(1??)u上式,令?t?0,可得(洛必达法则):m,解得: dtdtm(t)v(t)?m(t??t)v(t??t)??v(t)?(1??)u?lnm0 (1.11) m(t)理想火箭与一级火箭最大区别在于(比较式(1.10)与式(1.11)):当燃料烧完,结构质量也逐渐[抛掉,仅剩下mp(卫星),即m(t)?mp,从而最终速度为:

v?(1??)u?lnm0 (1.12) mp式(1.12)表明:当m0足够大,便可使卫星达到我们希望它具有的任意速度.若考虑空气阻力,重力等因素,要使v?10.5km/s才行.

理想火箭是设想把无用的结构连续抛掉,显然实际上办不到,现在建造多级火箭系统的方法,来近似实现理想过程.记火箭级数为n.当第i级火箭燃料烧尽时,第i?1级火箭立即自动点火,并抛掉无用的第i级.用mi表示第i级火箭质量(燃料与结构总和),mp表示有效负载.

作假设:

(1) 设各级火箭具有相同的?,?mi表示第i级结构质量,(1??)mi为燃料质量. (2) 喷气相对速度u各级相同,燃料级的初始质量与负载质量保持不变,记比值为k. 先考虑二级火箭,由式(1.8),当第一级火箭燃烧完时,其速度为:

V1?u?lnm1?m2?mp?m1?m2?mp,在第二级火箭燃烧完时,其速度为: V2?V1?u?lnm2?mp?m2?mp将V1代入上式,得:

V2?u?ln??m2?mpm1?m2?mp???m?m?m?m?m2p12p??? (1.13) ??又据假设(2),m2?kmp, m1?k(m2?mp),代入式(1.13),并仍取u?3km/s,近似取

??0.1,可得:V2?6lnm1?m2?mpmpk?1,欲使V2?10.5km/s,由式(1.13),k?11.2,从而

0.1k?1?149.同理,可推出三级火箭:

?m3?mpm2?m3?mpm1?m2?m3?mpV3?u?ln?????m?m?m?m?m?m?m?m?mp23p123p?3?? ??同样假设下, V3?9lnk?1.欲使V3?10.5km/s,应k?3.25,从而

0.1k?1m1?m2?m3?mpmp?77,与二级火箭相比,在达到相同效果的情况下,三级火箭系统几

乎节省了一半,但如果让级数再继续增加,发射一顿重的卫星,火箭系统的重量是否还会大幅度减少呢?

记n级火箭的总质量(包涵有效负载mp)为m0,在同样假设下: u?3km/s,??0.1,

V末?10.5km/s,可算得相应的

n(级数) 1 2 m0的值,见下表(单位:吨) mp3 77 4 65 5 60 …… …… ?(理想) 50 火箭质量 -149 149

模型讨论

由上可知,用三级火箭代替二级火箭很值得,但用四级火箭代替三级火箭时重量减轻不多,而实际上由于工艺的复杂性及每级火箭都需要配备一个推进器,所以四级或四级以上的火箭不合算,故三级火箭的设计是最优的.

火箭是一个复杂的系统,本节对问题进行了简化,使问题变得简单明了,思考简化问题在建模中的必要性.