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内容发布更新时间 : 2024/12/25 10:23:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

③、若A:B,则r(A)?r(B);

④、若P、Q可逆,则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B);(※) ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B);(※) ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B));(※)

⑧、如果A是m?n矩阵,B是n?s矩阵,且AB?0,则:(※)

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解(转置运算后的结论); Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)?r(A)?r(B)?n;

6. 三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)?行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;

?1ac??01b②、型如???的矩阵:利用二项展开式; ?001???

二项展开式:(a?b)?Ca?Cab?L?Ca注:Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项;

n(n?1)LL(n?m?1)n!?1g2g3gLgmm!(n?m)!n0nn1nn?11mnn?mb?L?Cmn?11n?1nabmmn?m; ?Cb??Cnabnnnm?0nⅡ、Cnm?0nCn?Cn?1

nmn?mⅢ、组合的性质:Cn?Cnmmm?1Cn ?1?Cn?Cn?Cr?0rn?2nrr?1rCn?nCn?1;

③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:

?n?①、伴随矩阵的秩:r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1; r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值:③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X);

n?1

8. 关于A矩阵秩的描述:

①、r(A)?n,A中有n阶子式不为0,n?1阶子式全部为0;(两句话)

②、r(A)?n,A中有n阶子式全部为0; ③、r(A)?n,A中有n阶子式不为0;

9. 线性方程组:Ax?b,其中A为m?n矩阵,则:

①、m与方程的个数相同,即方程组Ax?b有m个方程;

②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax?b为n元方程; 10. 线性方程组Ax?b的求解:

①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组的解;

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③、特解:自由变量赋初值后求得;

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:

?a11x1?a12x2?L?a1nxn?b1????ax?ax?L?ax?b????2nn2①、?211222;

LLLLLLLLLLL???am1x1?am2x2?L?anmxn?bn?a11a12?aa22②、?21?MM??am1am2LLOLa1n??x1??b1??????a2n??x2??b2? ??Ax?b(向量方程,A为m?n矩阵,m个方程,n个未知数)

M??M??M??????amn??xm??bm??x1??b1?????x2?b?an???(全部按列分块,其中???2?); ?M??M?????x?n??bn?③、?a1a2L④、a1x1?a2x2?L?anxn??(线性表出)

⑤、有解的充要条件:r(A)?r(A,?)?n(n为未知数的个数或维数)

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A:?1,?2,L,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,L,?m);

??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B:?1,?2,L,?m构成m?n矩阵B??2?;

?M????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解;(齐次线性方程组)

②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解;(矩阵方程)

3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax?0和Bx?0同解;(P101例14) 4. 5.

r(ATA)?r(A);(P101例15) n维向量线性相关的几何意义:

???0; ①、?线性相关

②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线(平行);

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面;

6. 线性相关与无关的两套定理:

若?1,?2,L,?s线性相关,则?1,?2,L,?s,?s?1必线性相关;

若?1,?2,L,?s线性无关,则?1,?2,L,?s?1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量,构成n维向量组B:

若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)

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简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;

7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r?s(二版P74定理7);

向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)?r(B);(P86定理3) 向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解;

?r(A)?r(A,B)(P85定理2)

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)(P85定理2推论)

8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl,使A?P1P2LPl;

①、矩阵行等价:A~B?PA?B(左乘,P可逆)?Ax?0与Bx?0同解 ②、矩阵列等价:A~B?AQ?B(右乘,Q可逆); ③、矩阵等价:A~B?PAQ?B(P、Q可逆); 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n:

①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;

②、若A与B行等价,则Ax?0与Bx?0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A的行秩等于列秩; 10. 若Am?sBs?n?Cm?n,则:

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)

11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;

①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解;

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解; 12. 设向量组Bn?r:b1,b2,L,br可由向量组An?s:a1,a2,L,as线性表示为:(P110题19结论)

(b1,b2,L,br)?(a1,a2,L,as)K(B?AK)

cr 其中K为s?r,且A线性无关,则B组线性无关?r(K)?r;(B与K的列向量组具有相同线性相关

性)

(必要性:Qr?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r;充分性:反证法)

注:当r?s时,K为方阵,可当作定理使用;

13. ①、对矩阵Am?n,存在Qn?m,AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关;(P87) ②、对矩阵Am?n,存在Pn?m,PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关; 14. ?1,?2,L,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks,使得k1?1?k2?2?L?ks?s?0成立;(定义)

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?x1???x?(?1,?2,L,?s)?2??0有非零解,即Ax?0有非零解;

?M????xs??r(?1,?2,L,?s)?s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

15. 设m?n的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为:r(S)?n?r;

16. 若?*为Ax?b的一个解,?1,?2,L,?n?r为Ax?0的一个基础解系,则?*,?1,?2,L,?n?r线性无关;(P111题33结论)

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT(定义),性质:

①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aiTaj???1?0i?ji?j(i,j?1,2,Ln);

②、若A为正交矩阵,则A?1?AT也为正交阵,且A??1; ③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:(a1,a2,L,ar)

b1?a1;

b2?a2?[b1,a2]gb1 [b1,b1][b1,ar][b,a][b,a]gb1?2rgb2?L?r?1rgbr?1; [b1,b1][b2,b2][br?1,br?1]

LLL br?ar?3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;

对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B;

?PAQ?B,P、Q可逆; ?r(A)?r(B),A、B同型;

②、A与B合同 ?CTAC?B,其中可逆; ?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数; ③、A与B相似 ?P?1AP?B; 5. 相似一定合同、合同未必相似;

若C为正交矩阵,则CTAC?B?A:B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A为对称阵,则A为二次型矩阵; 7. n元二次型xTAx为正定:

?A的正惯性指数为n;

?A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CTAC?E; ?A的所有特征值均为正数; ?A的各阶顺序主子式均大于0;

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?aii?0,A?0;(必要条件)

考研概率论公式汇总

1.随机事件及其概率

A????吸收律:A???AA???A A????

A?(AB)?AA?B?AB?A?(AB)

A?(A?B)?A反演律:A?B?AB AB?A?B

?Ai??Ai

i?1i?1nn?ni?1Ai??Ai

i?1n2.概率的定义及其计算

P(A)?1?P(A)若A?B ?P(B?A)?P(B)?P(A)

对任意两个事件A, B, 有 P(B?A)?P(B)?P(AB) 加法公式:对任意两个事件A, B, 有

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)

P(?Ai)??P(Ai)?i?1i?1nn1?i?j?n?P(AA)ij?1?i?j?k?n?P(AAA)???(?1)ijknn?1P(A1A2?An)

3.条件概率

P?BA??

P(AB) P(A)乘法公式 P(AB)?P(A)P?BA?(P(A)?0)

P(A1A2?An)?P(A1)P?A2A1??P?AnA1A2?An?1?(P(A1A2?An?1)?0)n全概率公式 P(A)??P(ABi) ??P(Bi)?P(ABi)

i?1ni?1

Bayes公式P(BkA)?P(B)P(ABk)P(ABk) ?nk P(A)?P(Bi)P(ABi)i?14.随机变量及其分布

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