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2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数

Ⅰ2-3函数的奇偶性与周期性学案理

考纲展示?

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

考点1 函数奇偶性的判断

函数的奇偶性

奇偶性偶函数 定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点关于________对称 奇函数 关于________对称 答案：f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点

[教材习题改编] 函数f(x)＝x3, f(x)＝x4，f(x)＝x2－，f(x)＝＋|x|中，偶函数的个数是__________．

答案：2

解析：f(x)＝x4和f(x)＝x2－为偶函数．

判断函数奇偶性的易错点：忽略定义域；变形错误．

(1)函数f(x)＝(x＋1)在定义域上是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案：非奇非偶

解析：要使函数有意义，必须使≥0，即≤0，解得－1

2019年

(2)函数f(x)＝ 在定义域上是__________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案：奇

解析：当x>1时，－x<－1，所以f(－x)＝(－x)2－2＝－(－x2＋2)＝－f(x)； 当x<－1时，－x>1，所以f(－x)＝－(－x)2＋2＝－(x2－2)＝－f(x)； 当|x|≤1时，f(－x)＝0＝－f(x)． 综上可知f(x)是奇函数．

[典题1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xlg(x＋)； (2)f(x)＝(1－x)； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝.

[解] (1)∵＞|x|≥0，

∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)lg[－x＋] ＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)． 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)当且仅当≥0时函数有意义， ∴－1≤x＜1，

由于定义域关于原点不对称， ∴函数f(x)是非奇非偶函数．

(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． (4)∵?－2≤x≤2且x≠0，

2019年

∴函数的定义域关于原点对称． ∴f(x)＝＝， 又f(－x)＝＝－，

∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． [点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法：

①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．

[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

考点2 函数的周期性

函数的周期性 (1)周期函数：

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，

都有________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个

________就叫做f(x)的最小正周期．

答案：(1)f(x＋T)＝f(x) (2)最小 最小正数

(1)[教材习题改编]已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝

log4(x2＋3)，则f(2 017)＝__________.

答案：1