内容发布更新时间 : 2024/7/7 3:13:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一讲 有 理 数
一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算：
1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆
法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小
例1、 已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，
那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？
199797199898例2、 将?,?,?,?这四个数按由小到大的顺序，用“?”连结起来。
199898199999提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个
111数,,的大小关系。 abb?ac
分析：由点B在A右边，知b-a?0，而A、B都在原点左边，故ab?0,又c?1?0,故要比111较,,的大小关系，只要比较分母的大小关系。 abb?ac例4、 在有理数a与b(b?a)之间找出无数个有理数。
b?a提示：P=a?（n为大于是 的自然数）
n注：P的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号
在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非
负数是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧
例6、 计算 ?1?2?3?…?2000?2001?2002
提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数?2。 例7、 计算 1+2?3?4+5+6?7?8+9+…?2000+2001+2002
提示：仿例5，造零。结论：2003。 例8、 计算 99?9?99?9?199?9 ?????????n个9n个9n个9提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n ?1。 例9、 计算
111111111111(1?????)?(????)?(1?????)?(????) 232001232002232002232001111111提示：字母代数，整体化：令A?1?????，则 ,B?????232001232001例10、计算
111111（1）；（2） ????????1?22?399?1001?32?498?100提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）
111m?n11??； ??； （2）
n(n?1)nn?1mnmn11111111?(?)； （4）?[?]。
n(n?m)mnn?mn(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)（3）
111 （n为自然数） ????1?21?2?31?2?3???n例12、计算 1+2+22+23+…+22000 提示：1、裂项相消：2n=2n+1?2n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2S?S=22001?1。
12342000例13、比较S???????2000 与2的大小。
2481621提示：错项相减：计算S。
2
例11 计算 1?
第二讲 绝 对 值
一、知识要点
1、绝对值的代数意义；
2、绝对值的几何意义： （1）|a|、（2）|a-b|； 3、绝对值的性质：
（1）|-a|=|a|, |a|?0 , |a|?a； （2）|a|2=|a2|=a2； （3）|ab|=|a||b|； （4）|4、绝对值方程：
a|a||?（b?0）； b|b|（1） 最简单的绝对值方程|x|=a的解：
??aa?0? x??0a?0
?无解a?0?（2）解题方法：换元法，分类讨论法。 二、绝对值问题解题关键：
（1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。 三、例题示范
例1 已知a?0，化简|2a-|a||。
提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b= ，满足条件的a有几个？
例3 已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
b?cc?aa?b??的值。 |a||b||c|例4 已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc?0，求注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5 已知：
例6 已知x???3，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。 提示：1、根轴法；2、几何法。
例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|?7。 提示：1、根轴法；2、几何法。
例9 m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。 提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。 结论：最小值为8。
例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，
且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.