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2012高考真题分类汇编：导数

一、选择题

1.【2012高考真题重庆理8】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图

,像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 【答案】D

【解析】由图象可知当x??2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.当?2?x?1时，

y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当1?x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.所以函数f(x)有极大值f(?2)，极小值f(2),选D.

2.【2012高考真题新课标理12】设点P在曲线y?（ ）

1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则PQ最小值为2(A)1?ln2 (B) 2(1?ln2) (C) 1?ln2 (D)2(1?ln2)

【答案】B 【解析】函数y?1xe与函数y?ln(2x)互为反函数，图象关于y?x对称 21xe?x112 函数y?ex上的点P(x,ex)到直线y?x的距离为d?

222 设函数g(x)?1x11?ln2e?x?g?(x)?ex?1?g(x)min?1?ln2?dmin? 222 由图象关于y?x对称得：PQ最小值为2dmin?2(1?ln2), 3.【2012高考真题陕西理7】设函数f(x)?xe，则（ ） A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点 C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点[学 【答案】D.

【解析】?f(x)?xe,?f'(x)?e?xe，令f'(x)?0，则x??1，当x??1时f'(x)?0，当x??1时f'(x)?0，所以x??1为f(x)极小值点，故选D.

4.【2012高考真题辽宁理12】若x?[0,??)，则下列不等式恒成立的是 (A)e?1?x?x (B)x2xxxx111?1?x?x2

241?x(C)cosx…1?【答案】C

121x (D)ln(1?x)…x?x2 28【解析】设f(x)?cosx?(1?121x)?cosx?1?x2，则g(x)?f?(x)??sinx?x, 22所以g?(x)??cosx?1所以当x?[0,??)时，g(x)为增函数，所以g(x)?f?(x)≥g(0)?0, ≥0，同理f(x)≥f(0)?0，?cosx?(1?121即cosx…x)≥0，1?x2，故选C

22【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数y?f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为

A．C．

2π 53 2

B．D．

4 3π 2【答案】B

【解析】根据图像可得： y?f(x)??x2?1，再由定积分的几何意义，可求得面积为

114. S??(?x2?1)dx?(?x3?x)1??1?1336.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 【答案】A

【解析】若函数y?x?3x?c的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为y'?3x?3，令y'?3x?3?0，解得x??1，可知当极大值为f(?1)?2?c，极小值为解得c??2，由f(1)?c?2?0，解得c?2，所以c??2或c?2，f(1)?c?2.由f(?1)?2?c?0，选A. 二、填空题

7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x+(y+4)=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。 【答案】

2

2

2

3229 42

2

【解析】曲线C2：x+(y+4)=2到直线l:y=x的距离为d?|0?4|1?122?2?22?2?2，

曲线C1：y=x+a对应函数的导数为y?2x，令2x?1得x?2

1112

，所以C1：y=x+a上的点为(,?a)，22411??a|1197?2，解得a?或a??（舍去）。 点(,?a)到到直线l:y=x的距离应为2，所以24244412?12|8.【2012高考真题江西理11】计算定积分【答案】

?1?1(x2?sinx)dx?___________。

2 313221。 (x?sinx)dx?(x?cosx)??1??1331【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。 【解析】

9.【2012高考真题山东理15】设a?0.若曲线y?则a?______. 【答案】a?x与直线x?a,y?0所围成封闭图形的面积为a2，

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