内容发布更新时间 : 2024/11/18 19:52:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

【例 6】 A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于

A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？ 【解析】

甲AFEB乙第一次相遇第一次追上

由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100?80?20(分钟)内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在(80?100)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(?180?20)，则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80?(1?9)?800(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟(?100?2)，所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．

【例 7】 （难度等级 ※※※）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的

2，二3人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距 千米．

【解析】 由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3．第一次相遇

时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了2?3?6份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2?5?10份． 乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么A、B两地距离为：5×25＝125（千米）

【巩固】 （难度等级 ※※※）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，

相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为 千米．

6

【解析】 由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以

两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．

①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了3?2?6千米，由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为(6?3)?2?1.5千米，甲、乙两地的距离为6?1.5?7.5千米； 王甲AB李乙王甲AB李乙

②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了6?3?3千米，小李走了6?3?9千米，两人的速度比为3:9?1:3．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为

9?3?12千米．

所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米．

【巩固】 （难度级别 ※※※）A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是

到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？

【解析】 第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又

在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。这样根据总结：2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。

7

【例 8】 （难度级别 ※※※）小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一

村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

【解析】 画示意图如下.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了 3.5×3＝10.5（千米）.

从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是 10.5-2＝8.5（千米）.

每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距

离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了 3.5×7＝24.5（千米）， 24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）. 就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地点离乙村1千米.

四、解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 9】 （难度级别 ※※※）每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽

约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？

8

【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．

他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．

从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．

如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．

【巩固】 （难度级别 ※※※）一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电

车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 【解析】 先让学生用分析间隔的方式来解答：

骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出．骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5?8?40（分钟）． 再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：

第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，

9

所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟．

第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点（注意：这两点在水平方

向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．

第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P

点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行线．

从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了． 5?8?40（分钟）

对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！

【例 10】 （难度级别 ※※※）甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，

乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！

首先，甲跑一个全程需30?1?30（秒），乙跑一个全程需30?0.6?50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：

10