内容发布更新时间 : 2024/12/26 15:10:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

正余弦定理在解决三角形问题中的应用

典型例题分析： 一、判定三角形的形状

例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状： (1)若atanB=btanA； 解：由已知及正弦定理得

(2RsinA)

2

2

2

sinBsinA2

= (2RsinB) ? cosBcosA2sinAcosA=2sinBcosB?sin2A=sin2B? 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90 或 A – B=0

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. (2)bsinC + csinB=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得

sinBsinC=sinBsinCcosBcosC

∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90, A=90, 故△ABC是直角三角形.

(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1

o

o

2

2

2

2

2

2o

CA?BA?BA?BA?B2

cos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- ? [2sin22221]=0

? [2sin

2sin

2

A?BA?BA?BA?Bcos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2222A?B=0 2A?BA?BA?BA?B?(sin- cos)(cos- sin)=0

2222A?B?A?C?BA?B?C?sin( - )sinsin=0

2444?△ABC是Rt△。

二、三角形中的求角或求边长问题

例2、△ABC中、已知：AB=2、BC=1、CA=、分别在边AB、BC、CA上取点D、

E、F、使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α、问sinα为何值时、△DEF的边长最短？并求出最短边的长。

图 1

分析：要求最短边的长、需建立边长关于角α的目标函数。

解：设△DEF的边长为x、显然∠C=90°、∠B=60°、故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠

EDB+∠B、所以∠EDB=α。在△BDE中、由正弦定理得、

所以 、因为BE+EC=BC、所以、

所以

当、

。

注：在三角形中、已知两角一边求其它边、自然应联想到正弦定理。

例2 在△ABC中、已知sinB=解：由cosA=

35, cosA=, 试求cosC的值。 513512、得sinA=, 1313

∵ sinB

4, 516. 65o

又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB=

例3 (98年高考题)已知△ABC中, a、b、c为角A、B、C的对边、且a + c=2b, A – B=60, 求sinB的值.

解：由a + c=2b, 得sinA + sinC=2sinB

A?CA?Ccos=2sinB 22A?CBo

由 A + B + C=180 得 sin=cos.

22即 2sin

又 A – C= 60, 得

o

3Bcos=sinB 22所以

3BBBcos=2sincos 2222o

又 ∵ 0<

BBo

<90, cos≠0、 22所以 sin

3B=. 2413B=. 4239. 8从而 cos

所以 sinB=

例4．（2005年湖北卷第18题） 在△ABC中、已知AB?466,cosB?,AC边上的中线BD=5、求sinA的值. 36分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识、同时考查利用三角公式进行恒等变形

的技能和运算能力.

解法1：设E为BC的中点、连接DE、则DE//AB、且DE=在△BDE中利用余弦定理可得：

BD=BE+ED－2BE·EDcosBED、

2

2

2

126AB?,设BE?x, 23