内容发布更新时间 : 2024/12/24 9:37:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

注意：1、n维线性空间上线性泛函与向量(?1,?2,?,?n)相对应。

2、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的 §1.2定义：T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称

TxT?supxx?0x?D(T)为算子T在D(T)上的范数。

§1.3 定理1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。

这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。 定理2 设X是赋范线性空间，函的充要条件为

f是X上线性泛函，那么

f是X上连续泛

f的零空间N(f)是X中的闭子空间。

注意：1、若T有界? 2、

T??

T???Tx?Tx3、若T有界? Tx?Tx

§2 有界线性算子空间和共轭空间

§2.1定义：设X是赋范线性空间，令X'表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空间。

§2.2定理1 当Y是巴拿赫空间时，B(X?Y)也是巴拿赫空间 定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间

例：1、l的共轭空间为l有界序列全体，即(l1)' 2、xn?X,x?X,且xn连续

3、设A?B(Z则AB为线性算子

1??l?，但(l?)'?l1

?x,?f?X',则f(xn)?f(x),其中f，令(AB)x?Y),B?B(X?Z)?A(Bx)，x?X，

q4、其中1?1?1，(lq)'lp(1?p???)的共轭空间为l，

pq当p?2?lp，

时，(l2)'?l2

二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用

泛函分析是分析数学中“最年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论，有着广泛的应用。在这里我主要阐述一下压缩映射定理（Banach不动点定理）的应用。

定理 （压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx?x，有且只有一个解）。 a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用

迭代法不动点原理：设映射在g(x)在[a,b]上有连续的一阶导数，且满足：（1）封闭性：对?x?[a,b]，有g(x)?[a,b]，

（2）压缩性： ?L?(0,1)使得对?x?[a,b] |g'(x)|?L，则g(x)在[a,b]上存在唯一的不动点X*，且对?x0?[a,b]，Xk?g(Xk?1)收敛于X*，且有

LLk|X*?Xk?|X|k?Xk?1?|X1|?X0使用|Banach不动点原理对推论证明：

1?L1?L由原理内容可知，g(x)是[a,b]到[a,b]上的线性映射；R和[a,b]均完备；条件（2）等价于为g(x)压缩映射。

以上可知，必存在X*?[a,b]，对?x0?[a,b]，Xk?g(Xk?1)有Xk?X*且

LLk|Xk?Xk?1|?|X1?X0|。 X*?g(X*)且满足|X*?Xk|?1?L1?Lb、不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用

例4 线性代数方程组解的存在唯一性：设线性方程?aijxj?bi,i?1,2,?,n

j?1n若对每个i，?|?ij?aij|???1，则方程组唯一解存在。

j?1n证：在Rn中定义x?(x1,?,xn)与y?(y1,?yn)之距离?(x,y)?max|xi?yi|易证

1?i?n(Rn,?)是完备的距离空间。定义映射T:Rn?Rn,y?Tx由

yi??|?ij?aij|xj?bi,i?1,2,?n,j?1nn确定，记

yi?是

?|?j?1ij??,?,xn??),y??(y1?,?,yn?),y???(y1??,?,yn??),于?aij|xj?bi,x'?(x'1,?,x'n),x???(x1?(y?,y??)?max|yi??yi??|?max|?(?ij?aij)(x?j?x?j?)|1?i?n1?i?nj?1n?max|xi??yi?|max|?(?ij?aij)|???(x?,x??)

1?i?n1?i?nj?1n于是T是压缩映射，它有唯一不动点，所以方程方程组xi??(?ij?aij)xj?bi即

j?1n?axijj?1nj?bj的解唯一存在。

参考文献：[1] 王文静 《泛函分析的理论在数学其他学科中的点滴应用》 科教

纵横 2009年 第10期

[2] 孔慧英 梅智超 《现代数学思想概论》 [3] 闫大桂 严尚安 《工科研究生应用数学基础》

[4]石智,王军秋.泛函分析初步[M] .西安:陕西科学技术出版社, 2005.