内容发布更新时间 : 2024/5/3 21:43:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.3.2 简单的线性规划问题

第1课时 线性规划的有关概念及图解法

学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

??4x≤16，

引例 已知x，y满足条件?4y≤12，

x≥0，??y≥0.

x＋2y≤8，

①

该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y②的最大值.

以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念. 知识点一 线性约束条件及目标函数

1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件.

2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数. 知识点二 线性规划问题

一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 知识点三 可行解、可行域和最优解

满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.

1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√) 2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)

3.不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(×)

类型一 最优解问题

命题角度1 问题存在唯一最优解

??4x≤16，

例1 已知x，y满足约束条件?4y≤12，

x≥0，??y≥0，

考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值

x＋2y≤8，

该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y的最大值.

解 设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y， 2z

则y＝－x＋，

33

2z

这是斜率为－，在y轴上的截距为的直线，如图.

33

由图可以看出，

2zz

当直线y＝－x＋经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距的值最大，

333此时2x＋3y＝14.

反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤 (1)确定线性约束条件，线性目标函数；

(2)作图——画出可行域；

(3)平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；

(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围. 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值

??1≤x＋y≤5，解 作出二元一次不等式组?所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行

??－1≤x－y≤3

域.

21

设z＝2x－3y，变形得y＝x－z，

33

2

则得到斜率为，且随z变化的一组平行直线.

31

－z是直线在y轴上的截距， 3当直线截距最大时，z的值最小， 由图可知，

当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大， 即z最小.

??x－y＝－1，

解方程组?得A点坐标为(2,3)，

??x＋y＝5，

∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.

当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小， 即z最大.