内容发布更新时间 : 2024/12/27 14:16:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
正多边形和圆
1．正六边形的边心距与边长之比为( B )
A.3∶3 B.3∶2 C．1∶2 D.2∶2 【解析】 如图：设正六边形的边长是a，
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
11
则AC＝AB＝a，
22
3
∴OC＝OA2－AC2＝a，
2
3
∴正六边形的边心距与边长之比为：a∶a＝3∶2.
2
2．如图24－3－1，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( D )
图24－3－1 A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 ︵︵C.AC＝BC
D．∠BAC＝30° 【解析】 因为OA＝AB＝OB，所以△OAB是等边三角形，又OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC＝30°，所以∠BAC＝15°，D不正确．
3．如图24－3－2，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使该角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是( B )
图24－3－2
A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4； 360÷120＝3；360÷180＝2.
因此n的所有可能的值共五种情况． 4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( C )
图24－3－3
A．62 mm B．12 mm C．63 mm D．43 mm
5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( B ) A．6 B．12
C．63 D．123
1?22
【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R，则??2R?＋(3)＝R，∴R＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B. 6．若正六边形的边长为4 cm，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm，边心距是__23__cm，它的每一个内角是__120°__． 7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为__5__cm. 8．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝__8__．
360180（n－2）1
【解析】 由＝×，得n＝8.
nn3
9．已知⊙O和⊙O上的一点A，如图24－3－4所示．
2
图24－3－4
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
︵
(2)在(1)题所作的图中，如果点E在AB上，试证明EB是⊙O的内接正十二边形的一边．
【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)计算EB所对的圆心角的度数．
解：(1)如图所示，在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC和BD，连接AB，BC，CD，DA，得⊙O的内接正方形ABCD；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O中作出正六边形AEFCGH.
(2)如图，连接OE.
∵AE是正六边形的一边，
360°360°
∴∠AOE＝＝60°.∵AB是正方形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∴∠BOE＝∠AOB－
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360°
∠AOE＝90°－60°＝30°.设EB是⊙O的内接正n边形的一边，则＝30°，∴n＝12，
n
∴EB是⊙O的内接正十二边形的一边．
10．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连接BD，如图2.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( C )
图24－3－5
5－1
A．BD2＝OD
25＋1
B．BD2＝OD
2
C．BD2＝5OD
5
D．BD2＝OD
2
11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为____________cm2.
图24－3－6
【解析】连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
（8－2）×180°
∵正八边形每个内角为：＝135°，
8
∴∠HGM＝45°，
∴MN＝MG， 设MH＝MG＝x，
则HG＝AH＝AB＝GF＝2x， ∴BG×GF＝2(2＋1)x2＝20， 四边形ABGH面积＝ 1
(AH＋BG)×HM＝(2＋1)x2＝10， 2
∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm2)．
12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE是正五边形．