内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:40:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章 映射习题
P39习题
1. 设A,B是有穷集,A?m,B?n。则
(1)计算AB; (2)从A到A有多少个双射?
P43习题
3. 证明:从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点,那么这5个点中必有2个点,它们之间的距离至多为1/2,而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
5. 证明在52个整数中,必有两个整数,使这两个整数之和或差能被100整除。
6.设a1,a2,?,an为1,2,3,?,n的任一排列,若
n
是奇数且
(a1?1)(a2?2)?(an?n)?0,则乘积为偶数。
P46习题
7.设f:X?Y,C,D?Y,证明f?1(C\\D)?f?1(C)\\f?1(D)
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8. 设f:X?Y,A,B?X,,证明f(A\\B)?f(A)\\f(B)。
10.设f:X?Y,A?X,B?Y。以下四个小题中,每个小题均有四个命题,这四个命题有且仅有一个正确,请找出正确的那个。
(1)(a)若f(x)?f(A),则x未必在A中;(b)若f(x)?f(A),则x?A;
(c)若f(x)?f(A),则x?A; (d)若f(x)?f(A),则x?Ac。 (2)(a)f(f?1(B))?B; (b)f(f?1(B))?B;
(c)f(f?1(B))?B; (d)f(f?1(B))?Bc。 (3)(a)f?1(f(A))?A; (b)f?1(f(A))?A;
(c)f?1(f(A))?A; (d)上面三个均不对。 (4)(a)f(A)??; (b)f(B)??;
(c)若y?Y,则f?1(y)?x; (d)若y?Y,则f?1(y)?x。
P50习题
15. 设X?{a,b,c},Y?{0,1},Z?{2,3},f:X?Y,f(a)?f(b)?0,
f(c)?1;g:Y??,g(0)?2,g(1)?3,试求g?f。
P55习题
17.设N?{1,2,3,?},试构造两个映射f和g:N?N,使得
(1)fg?IN,但gf?IN;(2)gf?IN,但fg?IN。
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18.设f:X?Y则
(1)若存在唯一的一个映射g:Y?X,使得gf?IX,则f是可逆的吗? (2)若存在唯一的一个映射g:Y?X,使得fg?IY,则f是可逆的吗?
20. 是否有一个从X到X的一一对应f,使得f?f?1,但f?IX?
P63习题
?12345??12345??1?121.设?1???,?2=??,求?1?2,?2?1,?1,?2。
?43215??32514?
?123456789?22.将置换??分解成对换的乘积。
?791652348?
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第三章 关系习题
P86习题
1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系?
2.是否存在一个同时不满足自反性,对称性,反对称性,传递性和反自反性的 二元关系?
3.设R,S是X上的二元关系,下列命题哪些成立:
a)若R与S是自反的,则R?S,R?S分别也是自反的; b) 若R与S是对称的,则R?S,R?S分别对称的; c) 若R与S是传递的,则R?S也是传递的;
d) 若R与S不是自反的,则R?S也不是自反的;
e) 若R与S是反自反的,则R?S,R?S也是反自反的; f) 若R是自反的,则Rc也是反自反的; g) 若R与S是传递的,则R\\S是传递的。
答案:________________________________________________
4.实数集合上的“小于”关系?是否是反自反的?集合X的幂集上的“真包含”关系?是否是反自反的?为什么?
5.设R、S是X上的二元关系。证明:
(1)(R?1)?1?R; (2)(R?S)?1?R?1?S?1; (3)(R?S)?1?R?1?S?1; (4)若R?S,则R?1?S?1;
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6.设R是X上的二元关系,证明:R?R?1是对称的二元关系。
7.设R为X上的是反自反的和传递的二元关系,证明:R是反对称的。
P92习题
9.“父子“关系的平方是什么关系? 答案:_____________
11.设R与S为X上的任两个二元关系,下列命题哪些为真? 答案:_______
a)若R,S都是自反的,则R?S也是自反的; b)若R,S都是对称的,则R?S也是对称的; c)若R,S都是反自反的,则R?S也是反自反的; d)若R,S都是反对称的,则R?S也是反对称的; e)若R,S都是传递的,则R?S也是传递的。
12.设R1是A到B,R2和R3是B到C的二元关系,则一般情况下:
R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3)。
但有人声称等号成立,他的证明如下:设(a,c)?R1?(R2\\R3),则?b?X,使得(a,b)?R1且(b,c)?R2\\R3。于是(b,c)?R2且(b,c)?R3。从而(a,c)?R1?R2且
(b,c)?R1?R3,所以(a,c)?(R1?R2)\\(R1?R3),即R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3)。同理可证相反的包含关系成立,故等式成立,这个证明错在什么地方?
13.设R,S是X上的满足R?S?S?R的对称关系,证明R?S?S?R。
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