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高等代数第四版习题答案

【篇一：高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案】

xt>一、 判断题

1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b. 错.

2. 如果a2?0,则a?0.

错.如a???11?2?,a?0,但a?0. ??1?1?

23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.

正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.

4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.

5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.

错.如a???11??21??32?,b?,c??????，有ab?ac,但b?c. ??1?1???2?1???3?2?

6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq???0?0??. 0??

正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形. 7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.

*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且 (a*)?1? 1a. |a|

8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*. 正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又

(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.

因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*. 二、 选择题

1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.

(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab

(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.

2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵. (a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a

3．以下结论不正确的是（ c ）.

(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵； (b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；

(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵； (d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.

4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）

(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零； (c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零； 2222tt2t

5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）

(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b) (c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e) 6．下列命题正确的是（b ）. (a) 若ab?ac，则b?c

(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c (c) 若ab?ac，且a?0，则b?c

(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c

7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）. (a) 当m?n时，必有行列式ab?0； (b) 当m?n时，必有行列式ab?0 (c) 当n?m时，必有行列式ab?0； (d) 当n?m时，必有行列式ab?0.

ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0. 8

．以下结论正确的是（ c）

(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0； (b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；

(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的； (d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b

9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.

（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.

（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1. ?1???0t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)???0,?1?2?3?0. ?2????0?

因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由

a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o 可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.

10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵

nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0 (b) a主对角线上的元素全为零

11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d） (a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?0

12．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a） (a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca (b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba (c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c (d) 若b?c，则必有ab?ac

13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e

14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ） (a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；

(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵； ***t

**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵； （Ｄ）aa?a. aa*?ae?a.

*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（ Ｄ） 234n(a) a (b) a (c) a(d) a

16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ ） (a) **?a

k?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn 应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.